Распределение Больцмана определяет распределение частиц в силовом поле в условиях теплового равновесия.
Больцман Людвиг (1844–1906) – австрийский физик-теоретик, один из основоположников классической статистической физики. Основные работы – в области кинетической теории газов, термодинамики и теории излучения. Вывел основное кинетическое уравнение газов, являющееся основой физической кинетики. Впервые применил к излучению принципы термодинамики.
Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P = nkT, падает.
Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.
Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT, заменим P и P0 в барометрической формуле (2.4.1) на n и n0 и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:
Так как а , то (2.5.1) можно представить в виде
На рисунке 2.11 показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.
Больцман доказал, что соотношение (2.5.3) справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.
Элементы статистической физики. · Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)
· Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)
,
где n – концентрация частиц; U – их потенциальная энергия; n0 – концентрация частиц в токах поля, где U = 0.
· Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести)
или ,
где р – давление газа; m – масса частицы; М – молярная масса; h – высота точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; р0 – давление на этом уровне; g – ускорение свободного падения.
· Вероятность того, что физическая величина х, характеризующая молекулу, лежит в интервале значений от х до x + dx, определяется по формуле:
,
где f(х) – функция распределения молекул по значениям данной физической величины х (плотность вероятности).
· Количество молекул, для которых физическая величина х, характеризующая их, заключена в интервале значений от х до x + dx,
.
· Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям в пределах от υ до υ + dυ)
,
где f (υ) – функция распределения молекул по модулям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале υ до υ + dυ, к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале; N – общее число молекул; m – масса молекулы.
· Распределение молекул по импульсам. Число молекул, импульсы которых заключены в пределах от р до р + dр
,
где f (р) – функция распределения по импульсам.
· Распределение молекул по кинетическим энергиям поступательного движения. Число молекул, энергии которых заключены в интервале от ε до ε + dε
,
где f (ε) – функция распределения по кинетическим энергиям.
· Эффективное сечение столкновения молекул
,
где d – эффективный диаметр молекулы, м. Единица измерения эффективного сечения столкновения молекул метр в квадрате (м 2 ).
· Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени
или ,
где d – эффективный диаметр молекулы; n – концентрация молекул; – средняя арифметическая скорость молекул.
· Средняя длина свободного пробега молекул газа
.
· Импульс, переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент поверхности
,
где η – динамическая вязкость газа; – градиент скорости течения его слоев; ΔS – площадь элемента поверхности; dt – время переноса.
Распределением Больцмана называют распределение вероятностей разных энергетических состояний идеальной термической системы, включая идеальный газ атомов или молекул, при термодинамическом равновесии.
Данная закономерность объясняет принцип деления частиц, которые находятся под воздействием силового поля, при условии теплового равновесия. Принцип описан Л. Больцманом в 1868 – 1871 гг.
Австрийский физик-теоретик Больцман Людвиг является одним из основоположников классической статистической физики. Основные утверждения ученого связаны с кинетической теорией газов, термодинамикой и теорией излучения. Больцман представил кинетическую формулу газов, которая легла в основу физической кинетики, а также первым использовал и применил к излучению термодинамические закономерности.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Исходя из распределения Больцмана, можно рассчитать количество частиц с полной энергией \(E_\) в среднем:
Постоянная Z рассчитывается с условием, что сумма \(n_\) со всеми возможными значениями i составляет заданное полное количество частиц n в системе, что является условием применения для нормировки:
При условии, что частицы перемещаются, согласно пояснению принципов классической механики, энергия \(E_\) состоит из следующих компонентов:
Распределение Больцмана в поле сил тяжести
Можно рассмотреть нахождение идеального газа в поле, в котором действуют консервативные силы, с тепловым равновесием. В зависимости от точек с разными значениями потенциальной энергии определяется концентрация газа, что позволяет соблюсти условия механического равновесия. Количество молекул на единицу объема n уменьшается во время удаления от поверхности Земли, и величина давления убывает, исходя из уравнения:
Когда определено количество молекул в единице объема, можно найти и величину давления. Справедлив и обратный принцип выполнения расчета числа молекул в определенном объеме при известном давлении. Плотность среды и параметры давления находятся в пропорциональной зависимости друг от друга, в условиях стабильных температурных показателей. Рост величины давления с уменьшением высоты объясняется тем, что на нижний слой оказывается нагрузка в виде веса всех атомов, которые находятся выше этого уровня.
Согласно основному уравнению молекулярно-кинетической теории можно P заменить на n для барометрической формулы и получить, таким образом, распределение Больцмана для молярной массы газа:
Где n является количеством молекул в единице объема на высоте h = 0 и h.
распределение Больцмана имеет следующий вид:
Количество молекул на высоте, не равной нулю, уменьшается при понижении температуры. Если Т = 0, нельзя наблюдать тепловое движение. В этом случае все молекулы были бы распределены на поверхности Земли. Высокая температура, наоборот, способствуют практически равномерному распределению молекул по высоте. При этом показатели плотности молекул медленно уменьшаются с высотой. Исходя из уравнения потенциальной энергии:
в зависимости от высоты U будет отличаться. Таким образом, равенство:
является характеристикой распределения частиц, согласно величине потенциальной энергии:
Данное уравнение является законом распределения частиц, согласно потенциальным энергиям, или распределением Больцмана. В этом случае \(n_<0>\) представляет собой количество молекул на единицу объема там, где U = 0.
Наглядно продемонстрировать зависимость концентрации разных газообразных веществ от высоты можно с помощью графика. Таким образом, количество более тяжелых молекул во время увеличения высоты уменьшается быстрее, чем легких.
Исходя из выведенной формулы, отношение концентраций молекул в точках с \(U_<1>\) и \(i>U_<2>\) будет записано в таком виде:
Больцманом было доказано, что данная формула справедлива и для потенциального поля с силами гравитации, и для любого потенциального поля с совокупностью каких-либо одинаковых частиц, которые совершают хаотичное тепловое движение.
Барометрическая формула Больцмана, вывод
На какой-то высоте h можно наблюдать атмосферное давление, наличие которого объясняется весом слоев газа, находящихся выше этого уровня. Можно представить, что Р является давлением на высоте h, а P + dP характерно для h + dh.
Следует отметить, что dh > 0, а dP \(P=\rho gh\)
где \(\rho =\frac
\(P-\left(P+dP \right)=\rho gdh\)
Исходя из этого равенства, можно записать барометрическое уравнение, которое будет иметь следующий вид:
где \(P_<0>\) является величиной давления на высоте h = 0.
Правила построения графика
Согласно выведенной закономерности, можно заметить, что скорость убывания Р тем больше, чем выше масса газа или больше μ и чем ниже показатели температуры. В качестве практического примера можно рассмотреть концентрацию легких газообразных веществ таких, как Не и Н2, которая на большой высоте существенно больше, чем у земной поверхности.
Графически закономерность можно изобразить с помощью двух кривых, которые трактуются, либо как соответствующие разным μ (при одинаковой Т), либо как отвечающие разным Т, при одинаковых μ. На графике видно, чем тяжелее газ (больше μ) и чем ниже температура, тем быстрее убывает давление.
Рассмотрим идеальный газ, который является одним из важнейших объектов изучения статистической физики. Мы под идеальным газом подразумеваем газ, взаимодействие, между частицами которого мало, что им можно пренебречь.
Примером такого газа может служить достаточно разряженный газ, так как его молекулы находятся на значительных расстояниях друг от друга, на которых силы взаимодействия достаточно малы.
Обозначим через nk число частиц в газе, находящихся в k –том квантовом состоянии; nk называют числами заполнения различных квантовых состояний. Поставим задачу о вычислении средних значений n k этих чисел при условии, что n k ≪1 (1). Физически этот случай соответствует достаточно разряженному газу. Это условие означает, что в каждый момент времени в каждом квантовом состоянии находится не более одной частицы. В связи с этим можно пренебречь не только взаимодействием частиц, но и косвенным квантовомеханическим взаимным влиянием. Поэтому можно применить к отдельным молекулам распределение Гиббса.
Здесь постоянную a находят из условия нормировки
k n k = N (3)
Распределение молекул идеального газа по различным состояниям согласно формуле (2) называется распределением Больцмана (1877г.). Постоянный коэффициент a может быть выражен через термодинамические величины газа.
Применим распределение Гиббса к совокупности всех частиц газа, находящихся в данном квантовом состоянии.
В частности w 0 = e Ω k T – есть вероятность полного отсутствия частиц в данном состоянии. Когда n k ≪1 , вероятность w 0 близка к единице, поэтому в выражении w 1 для вероятности нахождения одной частицы в k –том можно положить, отпуская члены высшего порядка малости, e Ω k T =1 .
Вероятности n k >1 в этом приближении должны быть положены равны нулю. Поэтому
n k = k w k n k = w 1 ∙ 1+…= w 1
И при этом коэффициент a в формуле (2) выражается через химический потенциал газа.
Формула (9) называется формулой Больцмана.
Напишем выражение для свободной энергии
Набор же возможных значений ε k для всех частиц одинаков, следовательно, одинаковы и суммы
Подставляя (3) в формулу (1), получаем
В классическом случае формула (5) может быть записана в виде:
Мы уже говорили о том, что поступательное движение частиц газа квазиклассично, и энергию частицы можно написать в виде
где через ε k ‘ обозначены уровни энергии, соответствующие вращению частицы и ее внутреннему состоянию; ε k ‘ не зависит ни от импульсов, ни от координат центра инерции частиц (внешних полей нет).
Статистическая сумма в формуле (5) может быть заменена выражением
Для свободной энергии получаем:
Сумма, стоящая в правой части (3) не может быть вычислена в общем виде, без каких-либо предположений о свойствах частиц. Но она представляет собой функцию только температуры. Поэтому зависимость свободной энергии от объема полностью определяется формулой (3), что дает возможность получить из нее ряд существенных общих результатов о свойствах идеального газа.
Выделяя в (3) член, содержащий объем, можем написать
F =- NT ln eV N + N f T , (4)
где f ( T ) – некоторая функция температуры.
Для давления газа получим P =- ∂F ∂V T = NT V , т.е. имеем уравнение Клапейрона PV = NT .
Зная F можно получить и другие термодинамические величины
Внутренняя энергия может быть определена следующим образом:
Из формулы (7) видно, что энергия является функцией только температуры газа. Это обстоятельство заранее очевидно, так как частицы газа предполагаются невзаимодействующими друг с другом и изменение их среднего взаимного расстояния, при изменении общего объема газа, не может сказаться на его энергии.
а 
, то (2.5.1) можно представить в виде
,
или 
,
,
.
,
,
,
,
или 
,
– средняя арифметическая скорость молекул.
.
,
– градиент скорости течения его слоев; ΔS – площадь элемента поверхности; dt – время переноса.
этих чисел при условии, что n k ≪1 
(1). Физически этот случай соответствует достаточно разряженному газу. Это условие означает, что в каждый момент времени в каждом квантовом состоянии находится не более одной частицы. В связи с этим можно пренебречь не только взаимодействием частиц, но и косвенным квантовомеханическим взаимным влиянием. Поэтому можно применить к отдельным молекулам распределение Гиббса.
– есть вероятность полного отсутствия частиц в данном состоянии. Когда n k ≪1 
близка к единице, поэтому в выражении w 1 
для вероятности нахождения одной частицы в k –том можно положить, отпуская члены высшего порядка малости, e Ω k T =1 
.
в этом приближении должны быть положены равны нулю. Поэтому
для всех частиц одинаков, следовательно, одинаковы и суммы
обозначены уровни энергии, соответствующие вращению частицы и ее внутреннему состоянию; ε k ‘ 
, (4)
, т.е. имеем уравнение Клапейрона PV = NT 
.
можно получить и другие термодинамические величины
, или 
,
,
.
,
,
,
,
,
;
, где 
; средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы 
.
,
.
,
,
,
,
, или 
,
,
.