распределение больцмана во внешнем потенциальном поле

Больцман Людвиг (1844–1906) – австрийский физик-теоретик, один из основоположников классической статистической физики. Основные работы – в области кинетической теории газов, термодинамики и теории излучения. Вывел основное кинетическое уравнение газов, являющееся основой физической кинетики. Впервые применил к излучению принципы термодинамики.

Пусть идеальный газ находится в поле консервативных сил в условиях теплового равновесия. При этом концентрация газа будет различной в точках с различной потенциальной энергией, что необходимо для соблюдения условий механического равновесия. Так, число молекул в единичном объеме n убывает с удалением от поверхности Земли, и давление, в силу соотношения P = nkT, падает.

Если известно число молекул в единичном объеме, то известно и давление, и наоборот. Давление и плотность пропорциональны друг другу, поскольку температура в нашем случае постоянна. Давление с уменьшением высоты должно возрастать, потому что нижнему слою приходится выдерживать вес всех расположенных сверху атомов.

Исходя из основного уравнения молекулярно-кинетической теории: P = nkT, заменим P и P₀ в барометрической формуле (2.4.1) на n и n₀ и получим распределение Больцмана для молярной массы газа:

Так как а , то (2.5.1) можно представить в виде

На рисунке 2.11 показана зависимость концентрации различных газов от высоты. Видно, что число более тяжелых молекул с высотой убывает быстрее, чем легких.

Больцман доказал, что соотношение (2.5.3) справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Источник

23. Барометрическая формула. Распределение Больцмана для частиц во внешнем потенциальном поле.

закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова

(45.2)

Выражение (45.2) называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмос­ферное давление в зависимости от высоты или, измерив давление, найти высоту: Так как высоты обозначаются относительно уровня моря, где давление считается нормаль­ным, то выражение (45.2) может быть записано в виде

(45.3)

где р — давление на высоте h.

Барометрическую формулу (45.3) можно преобразовать, если воспользоваться вы­ражением (42.6) p=nkT:

(45.4)

где m₀gh=П — потенциальная энергия молекулы в поле тяготения, т. е.

(45.5)

Выражение (45.5) называется распределением Больцмана для внешнего потенциаль­ного поля. Из вето следует, что при постоянной температуре плотность газа больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

Если частицы имеют одинаковую массу и находятся в состоянии хаотического теплового движения, то распределение Больцмана (45.5) справедливо в любом вне­шнем потенциальном поле, а не только в поле сил тяжести.

24. Закон равномерного распределения энергии по степеням свободы. Число степеней свободы. Средняя кинетическая энергия теплового движения молекул.

На среднюю кинетическую энергию молекулы, имеющей i-степеней свободы, приходится Это есть закон Больцмана о равномерном распределении средней кинетической энергии по степеням свободы. Молекулы можно рассматривать как системы материальных точек (атомов) совершающих как поступательное, так и вращательное движения. При движении точки по прямой линии для оценки ее положения необходимо знать одну координату, т.е. точка имеет одну степень свободы. Если точка движения по плоскости, ее положение характеризуется двумя координатами; при этом точка обладает двумя степенями свободы. Положение точки в пространстве определяется 3 координатами. Число степеней свободы обычно обозначают буквой i. Молекулы, которые состоят из обычного атома, считаются материальными точками и имеют три степени свободы (аргон, гелий). Средняя кинетическая энергия молекул газа (в расчете на одну молекулу) определяется выражениемКинетическая энергия поступательного движения атомов и молекул, усредненная по огромному числу беспорядочно движущихся частиц, является мерилом того, что называется температурой. Если температура T измеряется в градусах Кельвина (К), то связь ее с Ek дается соотношениемИз уравнений (6) и (7) можно определить значение средне-квадратичной скорости молекулВнутренняя энергия идеального газа равна сумме кинетических энергий всех частиц газа, находящихся в непрерывном и беспорядочном тепловом движении. Отсюда вытекает закон Джоуля, подтверждаемый многочисленными экспериментами. Внутренняя энергия идеального газа зависит только от его температуры и не зависит от объема Молекулярно-кинетическая теория приводит к следующему выражению для внутренней энергии одного моля идеального одноатомного газа (гелий, неон и др.), молекулы которого совершают только поступательное движение:Поскольку потенциальная энергия взаимодействия молекул зависит от расстояния между ними, в общем случае внутренняя энергия U тела зависит наряду с температурой T также и от объема V: U = U (T, V). Принято говорить, что внутренняя энергия является функцией состояния.

Источник

Идеальный газ во внешнем потенциальном поле. Распределение Больцмана. Барометрическая формула.

1. 4. Барометрическая формула.

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории предполагалось, что если на молекулы газа не действуют внешние силы, то молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул, с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором концентрация молекул газа и его давление с высотой убывают. Выведем закон изменения давления газа с высотой, предполагая при этом, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте hравнор, то на высотеh+dhоно равно р +dp(рис.1.2). Приdh> 0,dр

Интегрирование данного уравнения дает следующий результат: Здесь С – константа и в данном случае удобно обозначить постоянную интегрирования черезlnC. Потенцируя полученное выражение, находим, что

При условии h=0 получим, что С=р₀, где р₀-давление на высотеh=0.

Д анное выражение называется барометрической формулой. Она позволяет найти атмосферное давление в зависимости от высоты, или высоту, если известно давление.

Зависимость давления от высоты демонстрирует рисунок 1.3. Прибор для определения высоты над уровнем моря называется высотомером или альтиметром. Он представляет собой барометр, проградуированный в значениях высоты.

1. 5. Закон Больцмана о распределении частиц во внешнем потенциальном поле. @

Если воспользоваться выражением р = nkT, то можно привести барометрическую формулу к виду:

‹ε_пост›, то концентрация молекул на определенной высоте зависит от соотношения П и ‹ε_пост›

Полученное выражение называется распределением Больцмана для внешнего потенциального поля. Из него следует, что при постоянной температуре плотность газа (с которой связана концентрация) больше там, где меньше потенциальная энергия его молекул.

1. 6. Распределение Максвелла молекул идеального газа по скоростям. @

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории отмечалось, что молекулы имеют различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы меняется со временем по модулю и по направлению. Из-за хаотичности теплового движения молекул все направления являются равновероятными, а средняя квадратичная скорость остается постоянной. Мы можем записать

П остоянство ‹υ_кв› объясняется тем, что в газе устанавливается стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется определенному статистическому закону. Этот закон теоретически был выведен Д.К.Максвеллом. Он рассчитал функциюf(u), называемую функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон всех возможных скоростей молекул на малые интервалы, равныеdu, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекулdN(u), имеющих скорость, заключенную в этом интервале (Рис.1.4.).

Скорость u_в, при которой функция f(u) достигает максимума, называется наиболее вероятной скоростью. Из условия равенства нулю первой производной функцииf(v) ′ = 0 следует, что

Н а рисунке 1.4. отмечена еще одна характеристика – средняя арифметическая скорость молекулы. Она определяется по формуле:

Опыт, проведенный немецким физиком О.Штерном, экспериментально подтвердил справедливость распределения Максвелла (рисунок 1.5.). Прибор Штерна состоит из двух коаксиальных цилиндров. Вдоль оси внутреннего цилиндра со щелью проходит платиновая проволока, покрытая слоем серебра. Если пропустить по проволоке ток,она нагревается и серебро испаряется. Атомы серебра, вылетая через щель, попадают на внутреннюю поверхность второго цилиндра. Если прибор будет вращаться, то атомы серебра осядут не против щели, а сместятся от точки О на некоторое расстояние. Исследование количество осадка позволяет оценить распределение молекул по скоростям. Оказалось, что распределение соответствует максвелловскому.

Барометрическая формула. Распределение Больцмана

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории связывает параметры состояния газа с характеристиками движения его молекул, т. е. устанавливает зависимость между давлением и объемом газа и кинетической энергией поступательного движения его молекул.

За время Dt площадки DS достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием DS и высотой vDt. Число этих молекул равно пDS v Dt(n — число молекул в единице объема). Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент ‘времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул движется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку DS будет 1/6 пDS vDt.. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс P=2m_ov 1/6 п DS vDt = 1/3 п m_ov 2 DSDt

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,

Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся с разными скоростями, то можно рассматривать среднюю квадратичную скорость, характеризующую всю совокупность молекул газа.

(2)

Уравнение (1) с учетом (2) примет вид

гдеЕ — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул газа.

Выражение (4) (т.е. рV = 2/3E) или эквивалентное ему (3) называется основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям дает ту же формулу.

(5),

так как молярная масса m = m₀N_A, где т₀ — масса одной молекулы, N_A — постоянная Авогадро, к = R/N_A. Отсюда легко найти, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с.

Т.е. она пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа.

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, поэтому молекулы равномерно распределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул — с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всех молекул одинакова. Если атмосферное давление на высоте h равно р, то на высоте h + dhоно равно р + dp(при dh>Оdp 2 DSDt

Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,

В случае если газ в объёме V содержит N молекул, движущихся с разными скоростями, то можно рассматривать среднюю квадратичную скорость, характеризующую всю совокупность молекул газа.

(2)

Уравнение (1) с учетом (2) примет вид

гдеЕ — суммарная кинœетическая энергия поступательного движения всœех молекул газа.

Выражение (4) (ᴛ.ᴇ. рV = 2/3E) или эквивалентное ему (3) принято называть основным уравнением молекулярно-кинœетической теории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по всœевозможным направлениям дает ту же формулу.

(5),

так как молярная масса m = m₀N_A, где т₀ — масса одной молекулы, N_A — постоянная Авогадро, к = R/N_A. Отсюда легко найти, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с.

Т.е. она пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, термодинамическая температура является мерой средней кинœетической энергии поступательного движения молекул идеального газа.

При выводе основного уравнения молекулярно-кинœетической теории газов и максвелловскогораспределœения молекул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действуют, в связи с этим молекулы равномерно распределœены по объёму. При этом молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с одной стороны, и тепловое движение молекул — с другой, приводят к некоторому стационарному состоянию газа, при котором давление газа с высотой убывает.

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяготения однородно, температура постоянна и масса всœех молекул одинакова. В случае если атмосферное давление на высоте h равно р, то на высоте h + dhоно равно р + dp(при dh>Оdp U₂ равно:

.

(2.5.4)

Больцман доказал, что соотношение (2.5.3) справедливо не только в потенциальном поле сил гравитации, но и в любом потенциальном поле, для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии хаотического теплового движения.

Источник

БОЛЬЦМАНА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Расстановка ударений: БО`ЛЬЦМАНА РАСПРЕДЕЛЕ`НИЕ

или из более обычного в кинетич. теории газов условия нормировки в пространстве скоростей и координат

Б. р. есть следствие Больцмана статистики идеального газа; представляет собой частный случай Гиббса распределения

для идеального газа, когда

Частным случаем Б. р. (1) при U = 0 является Максвелла распределение

Функцию распределения (1) иногда наз. распределением Максвелла-Больцмана, а распределением Больцмана наз. функцию распределения (1), проинтегрированную по всем импульсам частиц, представляющую плотность числа частиц в точке r :

Для смеси газов с различной массой Б. р. показывает, что распределение парциональных плотностей частиц для каждой из компонент независимо от других компонент. Для газа во вращающемся сосуде U(r) есть поле центробежных сил:

Лит. см. при ст. Больцмана статистика.

Источник

Распределение Больцмана. Идеальный газ во внешнем поле сил. Барометрическая формула.

Если газ находится в равновесии при температуре Т и отсутствуют внешние поля, то тепловое (хаотическое) движение молекул распределяет их по всему доступному объему равномерно, с постоянной концентрацией. Если же на газ наложить внешнее силовое поле, его молекулы будут иметь тенденцию перемещаться в направлении действия внешней силы и, таким образом, концентрация их в этом направлении будет увеличиваться, хотя, по-прежнему, тепловое движение стремится рассре­доточить молекулы равномерно по пространству. Эти два противоположно действующих механизма (тепловое движение и внешнее силовое поле) создают неравномерную, но равновесную концентрацию по пространству. Другими словами, в силовом поле концентрация молекул будет являться функцией пространственных координат n = n(x,y,z), не зависящей от времени (равновесие). Найдем это распределение концентра­ции по пространству, занимаемому газом.

Для того чтобы газ находился в состоянии термодинамического равновесия во внешнем поле сил, во-первых, он должен быть в тепловом равновесии: температура Т газа постоянна и равна температуре внешних тел; во-вторых, механическое равновесие означает, что суммарная сила , действующая на все молекулы произвольного объема dV газа со стороны внешнего поля уравновешивается силами давления газа на поверхность этого объема, т. е.

(1.13.1)

Если dV = dxdydz – бесконечно малый элемент объема газа, находящегося около точки A с координатами x, y, z (рис.16), то число молекул в нем равно n(x,y,z)dV. Ввиду малости объема dV,на каждую молекулу его действует постоянная по направлению и по величине внешняя сила , зависящая только от координат точки A, т. е. . Поэтому

(1.13.2)

С учетом (1.13.2) равенство (1.13.1) перепишем в виде

(1.13.3)

или в проекциях на ось X

(1.13.4)

Р и с. 16

На рис. 16 показан элементарный параллелепипед с указанием сил, действующих в направлении оси X. Если давление на левой грани равно P(x,y,z), то полная сила, действующая на эту грань, будет P(x, y, z)dydz. Давление на правой грани равно P(x + dx, y, z), и полная сила, действующая на эту грань, равна поэтому P(x + dx, y, z)dydz. Так как газ находится в равновесии, то эти силы противоположно направлены и проекция на ось X их равнодействующей может быть найдена просто путем вычитания:

(1.13.5)

Силы давления на остальные грани перпендикулярны оси X и их проекции на ось X равны нулю. Таким образом, полная сила, действующая на элементарный объем dV в направлении оси X, определится выражением

(1.13.6)

Разложим функцию по степеням dx в точке A(x, y, z).

(1.13.7)

Подставим разложение (1.13.7) в (1.13.6). В результате будем иметь

(1.13.8)

Подобным образом находятся проекции полных сил, действующих на внешнюю поверхность объема dV в направлении осей Y и Z.

(1.13.9)

(1.13.10)

Будем предполагать внешнее поле потенциальным, для которого

(1.13.11)

где – потенциальная энергия молекулы, находящейся в точке A(x, y, z). Откуда

(1.13.12)

Подставляя формулы (1.13.12) и (1.13.8) в выражение (1.13.4) и учи­тывая, что P = nkT, получим

(1.13.13)

Аналогичные равенства находятся проектированием сил, входящих в формулу (1.13.1), на оси Y и Z:

(1.13.14)

(1.13.15)

Умножим равенства (1.13.13)–(1.13.15) соответственно на dx, dy, dz и сложим их. В результате будем иметь

(1.13.16)

Выберем начало отсчета потенциальной энергии в точке с координа­тами , т. е. в этой точке .

(1.13.17)

Учитывая, что P = nkT, равенство (1.13.17) можем переписать в виде

(1.13.18)

Из формул Больцмана (1.13.17) и (1.13.18) видно, что концентрация (давление) молекул больше в тех точках пространства, где меньше их потенциальная энергия. При T → ∞, независимо от значения E_P, концентрация n → n₀= const, т.е. постоянна по всему объему, занятому газом. Таким образом, внешнее поле стремится сосредоточить молекулы в местах, где их потенциальная энергия меньше, а тепловое (хаотическое) движение разбрасывает молекулы по пространству так, что различие в концентрациях молекул в разных областях пространства с разными значениями потенциальной энергии уменьшается с увеличением температуры.

Если газ находится в равновесии при температуре Т в однородном поле земного тяготения, для которого , то, согласно формуле (1.13.17), давление газа

. (1.13.19)

где m₀g – вес молекулы, P₀ – давление на высоте h = 0, где потенциальная энергия выбрана равной нулю. Эта формула носит назва­ние барометрической формулы Лапласа. Из нее следует, что давление газа убывает с высотой тем быстрее, чем больше вес молекулы и чем ниже температура T газа.

Барометрической формулой удобнее пользоваться, если числитель и знаменатель под знаком экспоненты умножить на постоянную Авогадро N_A. Тогда

, (1.13.20)

где μ = m₀N_A – молярная масса газа, R – газовая постоянная.

Формула (1.13.20) описывает земную атмосферу приближенно, так как из-за действия на атмосферу солнечного излучения ее температура не является постоянной (к примеру, в тропосфере, которая простирается до высоты h = 10 км, температура убывает линейно до значения Т = 220 К).

Поэтому в высотомерах (альтиметрах), представляющих собой барометры, шкалы которых проградуированы в метрах, необходимо вводить поправку на температуру.

В заключение отметим, что распределение Больцмана (1.13.18) применимо не только к идеальному газу, но к любой системе невзаимодействующих частиц, находящихся в равновесии при температуре Т и под воздействием потенциального силового поля. Например, к системе электронов в металле или полупроводнике, к системе частиц, взвешенных в жидкости или газе и т.п.

Дата добавления: 2015-04-18 ; просмотров: 22 ; Нарушение авторских прав

Источник

• таракан на теле примета →