Принцип дирихле что это такое 5 класс
Слово педагога
Автор: Баякина Галина Михайловна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ Лицей №3
Населённый пункт: Саров
Наименование материала: методическая разработка уроков
Тема: Принцип Дирихле 5 класс
Раздел: среднее образование
Работаю учителем математики в физико-математическом лицее №3 города
Сарова Нижегородской области. В 5 и 6 классах один раз в неделю по
расписанию у нас «Решение нестандартных задач». Предлагаю разработку
трёх уроков в 5-ом классе по теме «Принцип Дирихле».
На первом уроке планируется познакомить ребят с формулировкой
принципа Дирихле (и обобщённого принципа Дирихле) и решить ряд задач с
применением этого принципа.
1 этап – разминка (5 – 8 минут).
«Замечательно, что один из нас – блондин, другой –
брюнет, а третий – рыжий, и при этом ни у одного из нас цвет волос не
соответствует фамилии», – заметил черноволосый. – «Ты прав», – сказал
Белов. Определите цвет волос художника.
Ответ: художник – брюнет. Можно решать с помощью таблицы.
2) Баскетбольный матч команд школ №3 и №9 закончился со счётом 76:80, но
ни один баскетболист не забросил ни одного мяча. Как это могло быть?
Ответ: играли баскетболистки.
3) Лифт поднимается с первого этажа на третий за 6 секунд. За сколько
секунд он поднимется с первого этажа на пятый?
Ответ: за 12 секунд.
4) Требуется распилить бревно на 6 частей. Каждый распил занимает 2 мин.
Сколько времени потребуется на эту работу?
2 этап – изучение нового материала – знакомство с принципом Дирихле (20
Принцип Дирихле. Если рассадить в n клетках (n + 1) кролика, то
найдётся клетка, где сидит, по крайней мере, два кролика.
Или: в n клетках невозможно рассадить поодиночке (n + 1) кролика, то
есть найдётся клетка, где сидит не менее двух кроликов.
Обобщение принципа Дирихле. Даны n клеток и (nk + m) (1
2) 17 + 14 + 20 = 51; 51 = 25∙2 + 1.
Вывод: в классе есть ученик, который занимается и английским языком, и
плаванием, и в математическом кружке.
3-ий урок. Решение задач.
1 этап – проверка домашнего задания (5 минут).
этап – решение задач, подготовка к проверочной работе по теме (38-39
Задача 1. 10 школьников на олимпиаде решили 35 задач, причём известно,
Докажите, что есть школьник, решивший не менее 5 задач.
Решение: Допустим, что первые три ученика решили соответственно 1, 2 и 3
задачи, тогда остальные 7 школьников решили всего 35 – 6 = 29 задач, но
29 = 7 ∙ 4 + 1, значит, найдётся один школьник, решивший 5 задач.
Задача 2. Докажите, что среди 25 учеников класса по крайней мере трое
родились в одном месяце.
Решение: В году 12 месяцев, 25 = 12m + 1, где m = 2, значит, найдутся три
ученика, родившиеся в одном месяце.
Задача 3. На занятии математического кружка 25 школьников получили 290
жетонов за правильное решение задач. Докажите, что по крайней мере два
ученика получили жетонов поровну (возможно, по 0).
Решение: Допустим противное: пусть все школьники получили различное
число жетонов, тогда общее число жетонов равно 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + …+ 24 =
– противоречие! Значит, найдутся два ученика, получившие
одинаковое число жетонов.
Задача 4. 1800 учеников района выполняли тест из 100 заданий. У Сидорова
31 неверный ответ. У остальных
– меньше. Докажите, что найдутся 59
школьников с одинаковыми результатами тестирования.
Решение: 1799 учащихся делим на 31 группу по результату (от 0 до 30
58 ∙ 31 = 1798. Значит, найдётся группа, в которой не менее 59 школьников.
Задача 5. 106 т строительных материалов упаковано в ящиках; масса каждого
из них не превышает 6 т. Грузовой лифт перевозит их на крышу небоскрёба.
количество рейсов лифта достаточно для перевозки груза?
Решение: В каждый рейс можно загрузить не менее 19 т. Поэтому достаточно
106 : 19, т.е. 6 рейсов. 5 рейсов может оказаться недостаточно. Например,
если 21 одинаковый ящик попытаться перевезти в 5 рейсов, то в одном из
рейсов будет 5 ящиков общей массой более 106 тонн. Ответ: 6
3 этап – подведение итогов, оценивание работы учащихся во время урока,
сообщение домашнего задания (1-2 минуты).
Домашнее задание (на карточках):
анкетах они оценили свой капитал от 10 млн. до 10 млрд. рублей (с
округлением до 1 млн.). Можно ли утверждать, что найдётся более 100
миллионеров с одинаковыми «анкетными данными»?
число полей на доске 8
8 можно закрасить в
чёрный цвет так, чтобы в любом уголке вида из трёх полей было, по
крайней мере, одно не закрашенное поле?
Решение домашних задач:
Можно. В противном случае каждую анкетную сумму (9991 различное
значение) имеет не более 100 миллионеров, т.е. всего их не более
Разобьём доску на 16 квадратиков 2
2 – это «клетки»; «кроликами»,
конечно, будут чёрные поля.
4-ый урок. Проверочная работа
по теме «Принцип Дирихле».
Работа даётся учителем на 45 минут. Целью её проведения является
установить, во-первых, как дети усвоили тему, умеют ли они применить
принцип в данной задаче и, во-вторых, проверить, как дети оформляют
одноклассника, фамилии которых начинаются с одной буквы.
В пяти классах учатся 160 человек. Доказать, что найдутся четыре
человека, у которых день рождения в одну и ту же неделю (в году 53
В мешке 10 синих шаров, 8 жёлтых и 4 белых. Какое наименьшее
количество шаров надо вынуть, не глядя, чтобы среди шаров было
а) два шара одного цвета;
в) три шара каждого цвета?
Решение задач проверочной работы:
В русском алфавите 33 буквы. Фамилии не могут начинаться с букв
«ы», «ъ», «ь», «й», осталось 29 букв. В этой задаче «клетки» – буквы, с
найдутся хотя бы два одноклассника, фамилии которых начинаются с
Даже если бы фамилии людей могли начинаться с букв «ы», «ъ», «ь»,
«й», задача бы имела такое же решение.
В этой задаче «клетки» – недели, их 53; «кролики» – школьники, их
Так как 160 = 53∙3 + 1, то по обобщённому принципу Дирихле найдутся
четыре человека, у которых день рождения в одну и ту же неделю.
а) Пусть в худшем случае, из мешка вынули сначала 1 синий шар, затем
1 жёлтый шар, затем 1 белый шар, тогда 4-ый шар будет одного цвета с
каким-то из этих шаров.
б) Пусть в худшем случае жёлтые шары никак не вынимались, и таким
образом мы выбрали 14 шаров, а затем «пошли» жёлтые шары, их
нужно 7, значит, надо вынуть 21 шар.
в) Так как в мешке белых шаров меньше, чем других, то в худшем
случае надо вынуть сначала 10 синих, потом 8 жёлтых и, наконец, 3 белых
шара. И тогда окажется, что среди взятых шаров (их 21) обязательно
План внеаудиторного занятия в 5-6 классах по теме «Принцип Дирихле»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
План внеаудиторного занятия
Тема: Принцип Дирихле.
Тип урока: урок внеклассного занятия.
Цель: Сформировать представление о принципе Дирихле.
Задачи: 1. Ознакомить учащихся с методом доказательства «от противного».
2. Развивать умение различать в задаче условие и заключение.
3. Ознакомить обучающихся с задачами, где при расплывчатых формулировках удается получить некоторую достоверную информацию.
4. Воспитывать умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.
Форма работы: индивидуальная, групповая.
Организация деятельности учащихся:
— работают с рабочим листом
— отвечают на вопросы
— решают самостоятельно задачи
— оценивают себя, друг друга
Создать благоприятный психологический настрой на работу
Проверка учителем готовности класса к уроку; организация внимания ;
Осознанное и произвольное построение речевого высказывания
Прогнозирование своей деятельности
Умение слушать и вступать в диалог
Умение выделять нравственный аспект поведения.
Актуализация опорных знаний и способов действий
Вступительное слово учителя.
Решение логических задач.
Решают примеры логических задач.
Участвуют в беседе с учителем, отвечают на поставленные вопросы.
Логический анализ объектов с целью выделения признаков.
Поиск и выделение необходимой информации.
Выделение и осознание того, что уже пройдено.
Постановка учебной задачи на основе известного.
Умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли, слушать и вступать в диалог
Постановка целей, задач урока, мотивационная деятельность учащихся
Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока
Вместе с учениками определяет цель урока.
Определяют цель урока.
Самостоятельное выделение-формулирование познавательной цели.
Первичное усвоение новых знаний
Обеспечение восприятия, осмысления и первичного запоминания детьми изученной темы: сложение натуральных чисел и его свойства.
Создает ситуацию, входе решения которой учащиеся делают необходимый вывод.
(коробка 3х3, кубики).
Вместе с учителем делают необходимый вывод.
Поиск и выделение необходимой информации. Структурирование знаний. Анализ объектов.
Построение логической цепи рассуждений.
Умение слушать и вступать в диалог
Сменить деятельность, обеспечить эмоциональную разгрузку учащихся.
Учащиеся сменили вид деятельности (отдохнули) и готовы продолжать работу.
Первичная проверка понимания
Установление правильности и осознанности изучения темы. Выявление первичного осмысления изученного материала, коррекция выявленных пробелов, обеспечение закрепления в памяти детей знаний и способов действий, которые им необходимы для самостоятельной работы по новому материалу.
Направляет работу учащихся.
Самостоятельно решают задачи. Отвечают на вопрос.
Выделение и формулирование познавательной цели, рефлексия способов и условий действия.
Анализ объектов и синтез
Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи и контроль полученного результата
Умение слушать и вступать в диалог,
Коллективное обсуждение проблем (при необходимости)
ция в межлично-стных отношениях
Установление правильности и осознанности изучения темы.
Выступает в роли тьютора для слабых учащихся при выполнении творческого задания.
Историческая справка о Дирихле.
Учащиеся выполняют в группах творческое задание Делают записи в тетрадь. После выполнения задания выполняют взаимную проверку.
Выделение и формулирование познавательной цели, рефлексия способов и условий действия.
Анализ и синтез объектов
Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи, контроль полученного результата, коррекция полученного результата, саморегуляция
Умение слушать и вступать в диалог,
Интегрироваться в группу;
Поддержание здорового духа соперничества для поддержания мотивации учебной деятельности; планирование учебного сотрудничества со сверстниками; участие в коллективном обсуждении проблем.
Подведение итогов урока
Самооценка результатов своей деятельности и всего класса
Учитель предлагает учащимся обобщить приобретенные знания на уроке.
Вступают диалог с учителем Отвечают на поставленные вопросы.
Выделение и формулирование познавательной цели, рефлексия способов и условий действия.
Анализ и синтез объектов
Планирование своей деятельности для решения поставленной задачи, контроль полученного результата, коррекция полученного результата, саморегуляция
Поддержание здорового духа соперничества для поддержания мотивации учебной деятельности; планирование учебного сотрудничества со сверстниками; участие в коллективном обсуждении проблем.
Жизненное самоопределение, ценносто-смысловая ориентация обучающихся
Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.
Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.
Задает дозированное домашнее задание
Учащиеся записывают домашнее задание в зависимости от уровня освоения темы урока
Оценка промежуточных результатов и саморегуляция для повышения мотивации учебной деятельности
управление поведением партнёра- контроль, коррекция, оценкна
Инициировать рефлексию детей по поводу психоэмоционального состояния,
мотивации их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими детьми в классе.
-Кто работал на уроке лучше всех?
-Кому еще надо стараться?
-С каким настроением вы уйдете с урока?
По листу самоконтроля оценивают свою работу и работу одноклассников.
Оценка своей деятельности и других людей
Учитель приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку; Добрый день, ребята! Улыбнитесь друг другу, пожелайте хорошего настроения! С каким настроением вы пришли на урок математики? Сегодня необычное занятие. У нас сегодня пришли гости, и они будут на вас смотреть как вы работаете на занятии. Поздороваемся с гостями.
Абсолютно всем нужна.
На уроке работай старательно
И успех тебя ждет обязательно!
Учащиеся все вместе читают стихотворение.
О чем идет речь в этом стихотворении?
Как вы сказали что на уроках вы должны работать аккуратно, с усердием и еще?
А для того чтобы вы узнать как вы поняли это стихотворение я даю вам задание.
Эти задания вы выполняете на рабочих листах.
Определи закономерность и найди неизвестное число:
Какая буква должна быть следующей в этой последовательности: О, Д, Т, Ч, П, Ш, С…
Найти сумму последовательных чисел от 1 до 30
Заполните таблицу натуральными числами от 1 до 9
Для чего нужны эти задания?
— о том, что надо хорошо работать на уроке;
— математика нужна в жизни человека;
— чтобы подсчитать деньги.
В классе 15 учеников. Можно ли утверждать что найдутся как минимум 2 ученика, отмечающих дни рождения в один месяц?
Как вы думаете чем мы будем заниматься сегодня на уроке?
Какова цель нашего урока?
Цель урока: Научиться решать логические задачи.
В каждой группе учитель дает коробку с кубиками. (по 12 штук):
Взяли рабочий лист и решаем задание №2.
Заполните коробку 3х3 кубиками:
Сменить деятельность, обеспечить эмоциональную разгрузку учащихся.
После каждой умственной работы на уроке математики что нужно делать? А как можно отдыхать на уроке?
Так давайте делаем физкульминутку. Все встали.
И еще раз повторили.
Три – налево наклонились
На четыре мы присели,
На места тихонько сели.
Учащиеся сменили вид деятельности (отдохнули) и готовы продолжать работу.
VI . Первичная проверка понимания: Самостоятельная работа в группах
Вывод учащихся: Таким образом, применяя данный метод, надо:
Определить, что удобно в задаче принять за «клетки», а что за «зайцев».
Получить «клетки»; чаще всего «клеток» меньше (больше), чем «зайцев» на одну (или более).
Выбрать для решения требуемую формулировку принципа Дирихле.
Принцип Дирихле важен, интересен, полезен. Его можно применять в повседневной жизни, что развивает логическое мышление.
Многие олимпиадные задачи решаются, используя это специальный метод. Он дает возможность обобщать.
Оценивают свою работу и и свое настроение в конце урока
IX . Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.
Спасибо за работу на уроке!
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
План внеаудиторного занятия
Тема : Принцип Дирихле.
Тип урока : урок внеклассного занятия.
Цель : Сформировать представление о принципе Дирихле.
Задачи: 1. Ознакомить учащихся с методом доказательства «от противного».
2. Развивать умение различать в задаче условие и заключение.
3. Ознакомить обучающихся с задачами, где при расплывчатых формулировках удается получить некоторую достоверную информацию.
4. Воспитывать умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем.
Форма работы : индивидуальная, групповая.
Организация деятельности учащихся :
— работают с рабочим листом
— отвечают на вопросы
— решают самостоятельно задачи
— оценивают себя, друг друга
См. материал дальше, скачав материал.
Номер материала: 400738
Не нашли то что искали?
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
В МГПУ сформулировали новые принципы повышения квалификации
Время чтения: 4 минуты
ВПР для школьников в 2022 году пройдут весной
Время чтения: 1 минута
Педагогам Северной Осетии в 2022 году будут выплачивать надбавки за стаж
Время чтения: 2 минуты
Путин поручил не считать выплаты за классное руководство в средней зарплате
Время чтения: 1 минута
Во Франции планируют ввести уголовное наказание за буллинг в школе
Время чтения: 1 минута
Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Факультативное занятие по математике для 5-8 классов » Принцип Дирихле»
Онлайн-конференция
«Современная профориентация педагогов
и родителей, перспективы рынка труда
и особенности личности подростка»
Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику
«Принцип Дирихле на факультативных занятиях по математике в школе»
Башко Ирина Николаевна
§1. Принцип Дирихле и его формулировки. 4
§2. Применение принципа Дирихле при решении 10
задач на размещение.
§3. Применение принципа Дирихле при 12
решения геометрических задач.
§4. Применение принципа Дирихле при решении 16
§5. Применение принципа Дирихле при решении 20
§6. Разработки факультативных занятий по теме 25
«Принцип Дирихле» для учащихся 6, 7, 8, 9 классов
§7. Разработка факультативного занятия по теме 45
«Принцип Дирихле» на интерактивной доске.
Список использованной литературы 51
В работе розглягуто принцип Дирихле в нескольких формах и примеры его применения. Разработан ряд уроков для внеклассной работы с учащимися 6-9 классов на тему «Принцип Дирихле», также предлагается разработка урока с использованием интерактивной доски.
§1. Принцип Дирихле и его формулировки.
Принцип Дирихле, на первый взгляд, очевиден и прост, но его применение в математике очень широкое. Принцип назван в честь немецкого математика Дирихле (1805-1859), который успешно применял его к доказательству арифметических утверждений. В основе принципа Дирихле лежит понятие множества. Этот принцип утверждает, что если множество из N элементов разбита на n подмножеств, не имеют общих элементов, где N> n, то, по крайней мере, в одной подмножестве будет более чем один элемент, или если есть n ящиков, в которых находится в общей сложности не менее n + 1 предмета, то непременно есть ящик, в котором лежат, по крайней мере, 2 предмета. Задачи на принцип Дирихле воспитывают у учащихся умение устанавливать соответствие между элементами множеств. Изучать принцип Дирихле можно уже с 6-го класса, так как он не требует глубоких математических знаний.
В общей формулировке принцип Дирихле выглядит так:
Если n кроликов сидят в k клетках, то найдется клетка, в которой не менее n / k кроликов.
Не надо бояться дробного числа кроликов: например, если получается, что в ящике не менее 7/3 кроликов, значит, их больше двух.
Доказательство принципа Дирихле в этой формулировке очень простое, но заслуживает внимания. Предположим, что в каждой клетке число кроликов менее n / k. Тогда в к клетках кроликов менее k ∙ n / k = n. Получили противоречие.
Задача 1. В мешке лежат шарики двух разных цветов ¬¬- черного и белого. Какое наименьшее количество шариков нужно вынуть из мешка, чтобы среди них точно два шарика оказались одного цвета?
Конечно, задача 1 очевидна и легко может быть решена без помощи принципа Дирихле. Далее мы увидим, что некоторые задачи не так очевидны при непосредственном решении, но в то же время достаточно просто решаются с помощью принципа Дирихле. Простота решения в значительной степени зависит от того, насколько удачно будут выбраны «ящики» и «предметы» (или «клетки» и «кролики») и установлено соответствие между этими множествами.
Понятие множества играет важную роль во всех разделах современной математики. Отметим, что множества могут быть различного характера. Можно говорить, например, о множестве учеников определенной школы, о множестве читателей книги, о множестве натуральных чисел, которые делятся нацело на 3, о множестве корней данного уравнения и т. Д.
Задача 2. Вдоль круглого стола равномерно размещены таблички с фамилиями дипломатов, участвующих в переговорах. После начала переговоров оказалось, что каждый из дипломатов не сидит напротив своей таблички. Можно вернуть стол так, чтобы, по крайней мере, двое дипломатов сидели напротив своих табличек?
Условие о том, что сначала ни один из дипломатов не находятся круг своей таблички несущественная. На самом деле первоначальное положение также «клеткой», но эта клетка при условии сознательно окажется пустой. Так что можно считать, что всего «клеток» на одну меньше, чем «кроликов».
Задача 3. В городе более 8000 тысяч жителей. Ученые считают, что у каждого человека менее 200000 волос на голове. Докажите, что существует, по крайней мере, 41 житель с одинаковым количеством волос на голове.
Докажем принцип Дирихле в обобщенной форме.
Теорема. Если k ∙ n + 1 предмет разложен в k ящиков, то, по крайней мере, в одном из ящиков лежит не менее n + 1 предмет.
Доказательство проведем методом математической индукции (ниже рассмотрим доказательство теоремы другим образом).
1. Докажем верность утверждения при k = 1. В этом случае всего будет n ∙ 1 + 1 = n + 1 «предметов». Если их разложить в k = 1 «ящиков», то в этом ящике будет n + 1 «предмет».
2. Предположим теперь, что при размещении p ∙ n + 1 «предметов» в k = p «ящиках» найдется ящик, в котором не менее n + 1 «предмет».
3. Докажем верность утверждения при k = p + 1. В этом случае число «предметов» равна (p + 1) • n + 1 = (n • p + 1) + n, а число «ящиков» равна p + 1.
Если в одном из этих «ящиков» больше, чем n «предметов», то есть не меньше, чем n + 1 предмет, то утверждение доказано. Если в этом «ящике» не более, чем n «предметов», то в последних p «ящиках» находятся не менее n ∙ p + 1 «предмет». А тогда, по предположению 2, найдется «ящик», в котором не менее n + 1 «предмет».
Итак, в обоих случаях подтвердилась истинность утверждения для k = p + 1. Это означает, что утверждение верно для любого натурального значения k. Принцип Дирихле доказана.
Приведем некоторые формулировки принципа Дирихле, которые применяются при решении задач.
1. Если в n клетках сидят не более n-1 кроликов, то есть пустая клетка.
Утверждение доказывается методом «от противного»: если пустой клетки нет, то в каждой клетке сидит хотя бы 1 кролик. Тогда кроликов не менее клеток. Значит, пустая клетка есть.
2. Если в n клетках сидят ровно n кроликов, то либо в каждой клетке сидит ровно один кролик, или есть и пустая клетка, и клетка, в которой не менее двух кроликов.
Действительно, если не в каждой клетке сидит ровно 1 кролик, то либо (а) есть пустая клетка, или (б) является клетка, в которой не менее 2 кроликов. В случае (а) у нас n кроликов оказываются рассаженных в n-1 клетку, поэтому, по принципу Дирихле, есть и клетка, в которой не менее 2 кроликов. В случае (б) у нас не более n-2 кроликов оставшиеся оказываются рассаженных в n-1 клетку, следовательно, по п.1, есть и пустая клетка.
3. Если в n клетках сидят не менее n ∙ (k-1) +1 кроликов, то вкакой-то из клеток сидят не менее k кроликов.
Действительно, если в каждой клетке сидит не более k-1 кролика, то во всех клетках сидит не более n ∙ (k-1) кроликов, а это не удовлетворяет условию утверждения.
Действительно, если в каждой клетке сидит не менее k + 1 кролика, то во всех клетках сидит не меньше n ∙ (k + 1) кроликов, а это не удовлетворяет условию утверждения.
§2. Применение принципа Дирихле при решении задач на размещение.
Принцип Дирихле широко используется в различных разделах математики. Поэтому его можно рассматривать в контексте соответствующей темы. В нашем случае «школьного рассматривания» задач, материал сцелях принципа Дирихле, можно разделить на подтипы. Для начала рассмотрим задачи на размещение.
Если бы это удалось осуществить, то на какую-нибудь трехтонку нагрузили бы 8 камней, поскольку 7 ∙ 7 + 1 = 50, потому по принципу Дирихле даже при равномерном распределении по 7 камней на каждую трехтонку получим в избытке 1 камень. Но даже 8 легких камней составляют в сумме
Отметим, что общая масса всех камней, как не трудно подсчитать, составляет 20950 кг, а на семь трехтонных можно нагрузить одновременно 21т. Поэтому складывается впечатление, что ответ на вопрос задачи должна быть положительной. Однако это было бы возможно, если бы мы раздробили камни.
Довольно часто задачи на размещение встречаются в геометрической интерпретации.
Задача 6. Какое наибольшее количество точек можно разместить в квадрате со стороной 1 таким образом, чтобы все расстояния между этими точками были не менее 0,5? («В квадрате» означает «внутри квадрата или на его границе»).
К размещению, показанного на рисунке, десятую точку добавить уже не
можно. В этом не трудно убедиться, ведь круги радиуса 0,5 с центрами в первых девяти точках накрывают весь квадрат. Однако приведенные соображения нельзя считать решение задачи.
Действительно, не исключена возможность того, что существуют и другие способы размещения девяти точек. При этом может случиться, что один из этих способов размещения девяти точек позволяет добавить к ним еще и десятую, не нарушая при этом условие задачи. Именно здесь пригодятся соображения, связанные с принципом Дирихле.
Действительно, разобьем квадрат на девять равных квадратиков со стороной.
Если в единичном квадрате размещено 10 точек, то по меньшей мере две из них попадут в одного и того же квадратика. Расстояние между любыми двумя точками квадрата не превышает длины диагонали этого квадрата, то есть не превышает числа
§3. Применение принципа Дирихле при решении геометрических задач.
Для большего количества задач, в геометрии на принцип Дирихле, существуют свои формулировки. В зависимости от того, какими объектами мы оперируем, меняются объекты и формулировки.
1. Если на отрезке длины l расположено несколько отрезков, сумма длин которых больше l, тогда, по крайней мере, два отрезка имеют общую точку.
2. Если внутри фигуры площадью S расположены фигуры, сумма плоскостей которых больше S, то среди существуют, по крайней мере, две фигуры, которые имеют общую точку.
Задача 7. Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими по плоскости его равносторонними треугольниками.
Разумеется, чем меньше равносторонний треугольник может покрывать максимум одну вершину данного равностороннего треугольника. Поэтому данный равносторонний треугольник можно покрыть, по крайней мере, тремя меньше.
Задача 8. На газоне в форме правильного треугольника со стороной 3 метра растет 10 гвоздик. Докажите, что найдутся две гвоздики, находящихся друг от друга на расстоянии, не превышающем 1 метр.
Разделим газон на 9 равносторонних треугольника со стороной 1 метр. Тогда, согласно принципу Дирихле, по крайней мере две точки содержатся в одном из них. Поэтому расстояние между этими точками не превышает 1
метра. Заметим, что после размещения 10 гвоздик в вершинах разбиения все расстояния между ними равны 1 метра.
Задача 9. Докажите, что у каждого многогранника найдутся две грани с одинаковым количеством сторон.
Задача 11. В круге радиуса 1 проведено несколько хорд, суммарная длина которых больше 7. Докажите, что найдется диаметр, который пересекает не менее 8 хорд.
Поскольку длина хорды больше длины соответствующей
дуги, то сумма дуг также больше 7. Рассмотрим произвольный диаметр круга и отразим симметрично относительно центра О одно из полукругов. Итак, второе полукруг будет покрыто дугами, которые будут иметь суммарную длину, превышающую 7. Тогда, согласно принципу Дирихле,
одна из точек полукруга покрывается по крайней мере 8 раз. Поэтому соответствующий диаметр, проходящий через эту точку, пересекает 8 хорд.
Задача 12. Докажите, что в выпуклый n-угольник с площадью S и периметром Р можно поместить круг, радиусом.
Понятно, что круг с центром в этой точке, радиусом, полностью размещен внутри данного многоугольника.
§4. Применение принципа Дирихле при решении задач раскраски.
Задача 14. Дано девьятикутну пирамиду, все 9 боковых ребер и все 27 диагоналей основания которой окрашено или в красный, либо в синий цвет. Доказать, что существуют три вершины пирамиды, которые одновременно являются вершинами треугольника, все стороны которого окрашены в одинаковый цвет. Правильно ли для восьмиугольной пирамиды?
Эта задача демонстрирует наглядный пример использования принципа Дирихле в геометрии с элементами раскраска. Известная задача Гутри или проблема четырех красок: сколько красок понадобится для раскрашивания карты, если закрашивать соседние государства, граничащие, разным цветом. Решая эту задачу, мы сталкиваемся с понятием внешних и внутренних точек геометрической фигуры, с понятием границы. Не все сразу находят способ раскрашивания, некоторые из учеников настойчиво считают, что такое невозможно. И только получен положительный результат, подтверждающий теоретические выкладки, способный убедить самых упрямых. Вообще задачи раскраски встречаются довольно распространено. Чаще всего их решения содержат в себе элементы комбинаторики, принцип четности, графы, таблицы. Поэтому предлагать эти задачи к решению школьникам нужно после изучения соответствующих тем. В некоторых задачах раскраски целесообразно использовать при решении принцип Дирихле. Рассмотрим примеры таких задач, начиная с элементарных.
Задача 15. Плоскость разрисованная двумя цветами. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.
Рассмотрим три точки, являются вершинами равностороннего треугольника. Тогда среди них есть две точки одного цвета.
Задача 16. Плоскость разрисованная тремя цветами. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.
Докажем утверждение от противного. Если вершины равностороннего треугольника АВС будут раскрашены разными цветами, тогда точка А ‘, которая симметрична точке А относительно прямой ВС, будет разрисованная тем же цветом, что и А. Поскольку расстояние между А и А ‘равен, то все точки окружности с центром в точке А радиуса будут закрашены одним цветом. Понятно, что на этом кругу можно выбрать две точки на расстоянии 1.
Задача 17. Каждая клетка прямоугольной таблицы 5 41 закрашена белым или черным цветом. Докажите, что можно выбрать 3 столбца и 3 линейки так, что все их 9 ячеек пересечения будут окрашены одним цветом.
Поскольку при каждом раскрашивания таблицы по крайней мере 3 ячейки будут одного цвета, то в соответствии с принципом Дирихле, среди 41 столбца таблицы крайней мере 21 будет 3 клетки того же цвета. Поскольку три клетки одного цвета можно разместить на 5-ти позициям способами, то опять же, согласно принципу Дирихле, с 21 такого набора по крайней мере 3 будут одинаковыми.
Задача 18. Узлы бесконечной решетки в клеточку разрисованные двумя цветами. Докажите, что существуют 2 горизонтальные и 2 вертикальные прямые, на пересечении которых лежат четыре точки одного цвета.
Выделим из этой решетки лишь один фрагмент, размером 3 9. Поскольку набор можно разрисовать двумя цветами
2 * 2 * 2 = 8 способами (для каждого узла есть только две возможности для его раскрашивания), то среди 9-ти вертикальных наборов есть два, которые разрисованные одинаково. Заметим, что в наборе есть по крайней мере два узла одного цвета. Поэтому среди узлов фрагмента решетки является, по крайней мере, 4 одного цвета, образующие прямоугольник.
§5. Применение принципа Дирихле при решении задач делимости.
Если рассматривать задачи на делимость целых чисел, то принцип Дирихле целесообразно сформулировать в следующей форме: Среди p + 1 целых чисел найдутся два числа, которые дают одинаковые остатка при делении на p.
Задача 19. Дано 11 различных целых чисел. Доказать, что из них можно выбрать два числа, разность которых делится на 10.
По крайней мере два числа с 11 избранных дают одинаковые остатка при делении на 10 (по принципу Дирихле). Пусть это будут числа А и В, тогда по теореме деления с остатком мы можем записать равенства:
A = 10a + r, B = 10b + r.
Задача 20. Доказать, что среди чисел вида 7k найдется число, заканчивается на 0001.
Принцип Дирихле широко используется при изучении вопросов делимости чисел. В частности, при рассмотрении остаток, которые дают при делении на заданное число последовательных степени некоторого фиксированного числа.
Эта теорема позволяет легко решать задачи следующего содержания.
Задача 21. Найти последнюю цифру числа 2251.
Выпишем последовательные степени числа 2, пока не произойдет «зацикливание».
Видим, что произошло за циклевка. Длина цикла Т = 4, поэтому
Число 2251 заканчивается той же цифрой, что и число 23, то есть цифрой 8.
Задача 22. Верно утверждение: сумма (8 ∙ 357 + 1420) делится на 5?
Число делится на 5 тогда и только тогда, если его последняя цифра 0 или 5. Таким образом, наша задача заключается в определении последней цифры числа.
Повторим рассуждения задачи 21:
Т = 4; 357 = (34) 14 ∙ 3, число 357 заканчивается цифрой 3.
Т = 2; 1420 = (142) 10, число 1420 заканчивается цифрой 6, а число 8 ∙ 357 + 1420 заканчивается цифрой 0, то есть данное число делится на 5.
1) конечного десятичной дроби;
2) бесконечного периодической десятичной дроби.
Теорема. Несократимая дробь можно представить в виде конечного десятичной дроби, тогда и только тогда, когда число b не имеет простых делителей, отличных от 2 и 5.
Пусть α ≤ β. Умножим числитель и знаменатель дроби на 2β-α. Тогда, где. Деления целого числа на 10β сводится к постановке запятой на соответствующем месте в десятичной записи этого числа. Таким образом, число представлено в виде конечного десятичной дроби.
Случай α> β рассматривается аналогично (числитель и знаменатель дроби надо умножить на 5α-β).
Если дробь можно представить конечным десятичной дробью, то имеем равенство
Например, преобразуем обычный дробь в десятичную.
Это означает, что дробь вращается в конечный десятичный, который имеет три цифры после запятой:
Докажем обобщающую теорему.
Например, преобразуем обычный дробь в десятичную. Здесь. Это означает, что дробь превращается в бесконечный периодический дробь, к периоду две цифры:
§6. Разработки факультативных занятий по теме «Принцип Дирихле» для учащихся 6, 7, 8, 9 классов средней школы.
В современной методической системе обучения наметился перенос акцентов с увеличения объема информации, предназначенной для усвоения учащимися, на формирование у школьников общелогических умственных умений. В связи с этим в школе перед учителем стоит задача научить детей анализировать, сравнивать и обобщать информацию, полученную в результате взаимодействия с объектами и явлениями не только действительности, но и абстрактного мира. Ничто так, как математика, не способствует развитию мышления, особенно логического, поскольку предметом ее изучения являются отвлеченные понятия и закономерности, которыми в свою очередь, занимается математическая логика. Математика обладает уникальным развивающим эффектом. Она наилучшим образом формирует приемы мыслительной деятельности и качества ума, способствует развитию памяти, речи, воображения, эмоций, формирует настойчивость, терпение, творческий потенциал личности. Главной задачей изучения математики является обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни, а также достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования. Специфическое значение внеклассных занятий для развития творческого, абстрактного и логического мышления заключается в том, что на них всегда хватает времени для выявления самобытности мышления каждого ученика, для индивидуального подхода, для испытания различных дорог поиска решения проблемы. Дети, которые хорошо учатся, смогут в еще большей степени развернуть свои способности, а слабо успешные дети, решая нестандартные задачи, посильные для них, смогут обрести уверенность в своих силах, научиться управлять своими поисковыми действиями, подчинять их определенному плану. В этих условиях у детей развиваются такие важные качества мышления, как глубина, критичность, гибкость, которые являются сторонами его самостоятельности. Современные ученые сходятся во мнении, что и дети, и взрослые успешнее решают те задачи, предложенные им в интересной, игровой форме.
Проведение внеклассной работы по математике осуществляется на основе общих педагогических принципов, а также тех, которые отражают ее особенность.
Именно в проведении различных внеклассных мероприятий по математике учитель должен больше возможностей раскрыть диалектический характер математики, показать источники возникновения и движущие силы ее развития, подчеркнуть драматических страницах ее истории, когда прогресс приобретался цене настоящего героизма отдельных ученых. Те знания, которые ученик приобретать как участник внеклассных мероприятий, должны базироваться на достоверных, проверенных фактах науки. Они должны стать отдельными этапами, ступенями познания окружающей среды, средствами математики. Важно также соблюдение принципов добровольности, интереса, самодеятельности.
Учитель не должен заставлять учеников участвовать во внеклассной работе по математике, осуждать тех, кто не принимает в ней участия. Привлекать к внеклассной работе по математике следует разными, но педагогическое оправданными средствами. Соблюдение принципа связи с жизнью стимулировать учащихся к участию в этой работе, поскольку они будут понимать, что приобретенные знания и практические навыки потребуются им в будущем. Соблюдение принципа заинтересованности раскрывает ученикам своеобразную красоту математики, позволяет им ощутить радость познания, первых научных поисков и побед.
Важной формой дифференциации обучения в школе является факультативные занятия. Их основная цель заключается в том, чтобы, учитывая интересы и склонности учащихся, расширить и углубить изучение программного материала; ознакомить учащихся с некоторыми общими математическими идеями и методами; развивать математические способности учащихся прививать учащимся интерес и вкус к самостоятельным занятиям по математике; воспитывать и развивать инициативу и творчество, показать применение математики на практике.
В педагогической науке достаточно основательно раскрыто существенные признаки факультативов, отличающие их от обычных занятий:
— Новые формы общения учителя и учеников;
— Высокий мотивационный уровень формирования юной личности;
— Необязательность оценивания знаний;
— Работа с группами учащихся, имеющих неплохую подготовку и интересующихся математикой.
Ученики выбирают тот или иной факультатив добровольно, но если кто уже записался, то должен заниматься. Нередко факультативные занятия проводят на нулевых или седьмых уроках; чтобы не переутомлять учащихся, домашних заданий нельзя не задавать или давать их на длительное время. Традиционно факультативные занятия по математика проводятся в форме лекций, семинаров, дискуссий, прослушивании докладов учащихся как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач, примерно половину времени желательно отводить на решение задач и упражнений.
Часто факультативные занятия проводят по следующему плану:
1. Знакомство с материалом (докладывает учитель или кто-то из учеников).
2. Самостоятельная работа учащихся с задачами теоретического и практического характера (задания даются всем одинаковые).
3. Коллективное обсуждение решений задач, сравнение способов решений, обобщения поиска новых путей, перенос усвоенных приемов и методов на другой учебный материал программного или факультативного курса по математике или смежных предметов.
4. Решение задач повышенной сложности.
Факультативный курс по математике решает следующие цели:
— Пробудить у ребенка любовь и интерес к занятиям математикой в легкой и приятной форме, на интересных задачах, которые требуют сообразительности;
— Научить ее нестандартно, оригинально мыслить;
— Развить упорство и сообразительность, умение находить оригинальные решения, принимать верные решения в сложных жизненных ситуациях;
— Побудить ребенка к самостоятельному творческому мышлению.
Задачами факультативного курса являются следующие условия:
— Научить детей анализировать, сравнивать и обобщать информацию, полученную в результате взаимодействия с объектами и явлениями;
— Научить детей управлять поисковыми действиями, подчинять их определенному плану;
— Формировать настойчивость, терпение;
— Развивать логическое, поисковое, творческое мышление;
— Развивать личностно-мотивационную и аналитико-синтетическую сферы ребенка, память, внимание, пространственное воображение и ряд других важных психических функций;
— Расширять, дополнять и углублять математические знания, умения и навыки.
Далее предложены конспекты для факультативных занятий по математике по теме «Принцип Дирихле» 6-9 классов.
Занятия в 6 классе.
Тема урока: Принцип Дирихле.
Цель урока: Познакомить учащихся с принципом Дирихле.формирование умения
решать задачи с помощью принципа Дирихле.
Тип урока: Урок изучения нового материала.
I. Проверка домашнего задания.
ИИ. Изучение нового материала.
На доске закреплены четыре конверта, на столе лежат пять карточек с изображением зайцев. Ученикам предлагается разместить зайцев в конверты произвольным образом. На доске записаны результаты размещения:
4 зайца 0 1 заяц 0 – 3 ученик и т. д.
Учитель: Итак, вы разложили карточки в конверты. Посмотрите, возможно так разместить зайцев, чтобы в каждом конверте было по одному зайцу?
Ученик: нет, зайцев больше, чем конвертов.
Учитель: То есть, если мы разместим зайцев по конвертам, то хотя бы в одном из конвертов окажется два зайца. А может оказаться в конверте более двух зайцев?
Ученик: Да, если в одном из конвертов зайцев не будет.
Учитель: Эту задачу рассматривали еще с древних издавна. Первым, кто достиг важных результатов был немецкий математик Петер Дирихле. И в его честь был назван принцип, который можно сформулировать так:
Если пять зайцев разместить в четыре клетки, то хотя бы в одной из них окажется два зайца.
Или такой результат получили мы, розкладуючы зайцев в конверты? Посмотрите на доску. При каждом размещении зайцев в одном из конвертов оказалось точно два зайца, но может быть и больше.
Рассмотрим следующую задачу. (На столе учителя стоит мешок, в него засыпаны шарики черного и белого цвета). В мешке шарики черного и белого цветов. Проверим, сколько шариков нужно достать из мешка, чтобы среди них оказалось точно два шарика одного цвета.
(К доске выходят ученики по одному и получают шарики, пока у них в руках не окажется два шарика одного цвета.Результаты записываются на доске).
И ученик: 1 белый шарик; 1 черный шарик; 1 черный шарик.
ИИ ученик: 1 белый шарик; 1 белый шарик.
ИИИ ученик: 1 черный шарик; 1 белый шарик; 1 белый шарик.
ИV ученик: 1 белый шарик; 1 черный шарик; 1 белый шарик.
Учитель: Посмотрите на запись внимательно и скажите, какое количество шариков нужно достать, чтобы среди них оказалось два одного цвета?
Ученик: Нужно достать три шарика, тогда точно две из них будут одного цвета.
Ученик: Да, возможно. Если принять шарики за «зайцев», а цвета этих шариков за «клетки», то по принципу Дирихле достаточно получить три шарика, чтобы среди них точно две были одного цвета.
Учитель: Верно, мы «разместили шарики по цветам».
Учитель: Действительно, эта задача решается гораздо проще с помощью принципа Дирихле. Итак, сформулируем принцип Дирихле для этой задачи:
Если доставать шарики произвольным образом, двух разных цветов из мешка, то при извлечении трех шариков, точно две из них одного цвета.
Учитель: Решим следующую задачу с помощью принципа Дирихле и запишем ее в тетради.
Задача. В саду растут 10 кустов роз, на каждом кусте не более 8 роз. Докажите, что есть хотя бы два куста роз с одинаковым количеством цветов.
Учитель: Какое количество цветов может быть на кусте?
Ученик От 1 цветка до 8.
Учитель: Сколько всего кустов?
Учитель: То есть кустов по количеству больше, чем вариантов количества цветов на них. Что считать «зайцами», а что «клетками»?
Учитель: Если применить принцип Дирихле, то какое утверждение получим?
Ученик: Существует по крайней мере два куста с одинаковым количеством роз.
Учитель: Хорошо, решим следующую задачу.
Задача. На планету Альфа системы Омега запустили 20 космолитакив, на каждом из них не более 16 человек. Докажите, что хотя бы на двух из них одинаковое количество людей.
(Ученик у доски решает задачу).
Ученик: Вообще имеем 20 космолитакив, на каждом не более 16 человек. То есть количество людей на каждом космолитаку от 1 до 16. По принципу Дирихле существует точно два космолитака с одинаковым количеством людей.
ИИИ. Закрепление нового материала.
— Какой принцип мы изучили?
— Сформулируйте этот принцип.
— Сколько элементов участвуют в принципе Дирихле?
— Приведите примеры размещения элементов по принципу Дирихле.
ИV. Домашнее задание.
В коробке 82 шарики. Каждая из них разрисованная определенным цветом. Докажите, что существует 10 шариков одного цвета, или 10 шариков разного цвета.
Если для раскрашивания 82 шариков использовано не менее 10 цветов, то понятно, что найдется 10 шариков разного цвета. Если же для раскрашивания 82 шариков использовано не более 9 различных цветов, то в соответствии с принципом
2. Изучить формулировка принципа Дирихле.
3. Составить самостоятельно задачу на использование этого принципа.
Занятия по алгебре в 7 классе.
Тема урока: Принцип Дирихле.
Цель урока: Напомнить ученикам сущность принципа. Объяснить и показать важные применения принципа. Развивать логическое мышление учащихся. Воспитывать индивидуальность и самостоятельность при решении задач.
Тип урока: Урок изучения нового материала.
I. Проверка домашнего задания и актуализация опорных знаний.
Учитель: В 6-м классе мы рассмотрели принцип Дирихле на простых задачах. Сформулируем этот принцип.
Ученик: Если пять зайцев разместить в четыре клетки, то хотя бы в одной из них окажется два зайца.
Ученик: Нет. Мы располагали большее количество зайцев в меньшее количество клеток.
Учитель: могли быть некоторые клетки пустыми?
Ученик: Да. Мы размещали зайцев произвольным образом.
ИИ. Объяснение нового материала.
Учитель: Сегодня мы рассмотрим принцип Дирихле в общем виде:
Если n ∙ k + 1 предмет размещать в n ящиков, то по крайней мере в одном окажется не менее k + 1 предмет.
Проиллюстрируем принцип на примере, для чего решим следующую задачу. Задача. Докажите, что если 13 зайцев разместить в 4 клетках, то хотя бы в одной из них окажется 4 зайца.
Согласно условиям задачи имеем n = 4, а n ∙ k + 1 = 13. Тогда получим, что k = 3, поэтому согласно принципу Дирихле в одной из клеток будет точно k + 1 = 4 зайца.
Докажем теперь принцип Дирихле. Будем размещать n ∙ k + 1 предмет в n ящиков. Для определенности будем размещать, например, n ∙ k + 1 яблока в n корзин произвольным образом. Докажем, что по крайней мере в одной корзине окажется k + 1 яблоко.
ИИИ. Решение задач на принцип Дирихле.
Задача 1. В городе более 8000 тысяч жителей. Ученые считают, что у каждого человека менее 200000 волос на голове. Докажите, что существует, по крайней мере, 41 житель с одинаковым количеством волос на голове.
8000000 = 40 ∙ 200000
Согласно принципу Дирихле (k = 40, k + 1 = 41), найдутся по крайней мере 41 жителей с одинаковым количеством волос на голове.
Задача 2. 15 мальчиков собрали 100 грибов. Докажите, что по крайней мере два мальчика собрали одинаковое количество грибов.
Учитель: Для решения этой задачи нужно составить противоположное утверждение и доказать его неверность.
Ученик: Пусть каждый из 15 мальчиков собрали разное количество грибов.
Учитель: Как подсчитать, сколько всего собрано грибов?
Ученик: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 105 грибов.
Учитель: Но по условию собрано лишь 100 грибов, поэтому наше утверждение, что все мальчики собрали разное количество грибов неверна, поэтому можно сказать, что по крайней мере два мальчика собрали одинаковое количество грибов.
Следующую задачу учащиеся решают самостоятельно.
Предположим, что на каждой из остальных 4 полочек не более 39 книг. Тогда на всех 5 полках не более 3 + 4 ∙ 39 = 159 книг, противоречит условию. Итак, на одной из полочек не менее 40 книг.
ИV. Домашнее задание.
1. Довести задачу по аналогии к доказательству принципа Дирихле:
Во дворе 36 детей школьного возраста, в районе 7 школ. Все дети 1 сентября пошли в школу. Докажите, что по крайней мере в одной школе учится не менее 5 детей из этого двора.
7 космонавтов отправляются в полет. Ракета выдерживает 497 кг. Известно, что вес первого космонавта 51 кг. Все остальные космонавты весят более 51 кг и во всех космонавтов вес разная. Выдержит их ракета?
Занятия по геометрии в 8 классе.
Тема урока: Принцип Дирихле.
Цель урока: Научить учащихся решать задачи по геометрии с помощью
принципа Дирихле. Развивать абстрактное и логическое мышление,
воспитывать самостоятельность рассуждений при решении задач.
Тип урока: Изучение нового материала.
I. Проверка домашнего задания.
ИИ. Объяснение нового материала.
Учитель: В 6-м и 7-м классах мы начали рассматривать принцип Дирихле. В 6-м классе мы рассматривали упрощенный принцип Дирихле на примере задачи: располагали 5 зайцев в 4 клетки и получали, что по крайней мере в одной из них сидит 2 зайца. В 7-м классе мы рассмотрели обобщенный принцип Дирихле, который имеет следующую формулировку:
Если n ∙ k + 1 предмет размещать в n ящиков, то по крайней мере в одном окажется не менее k + 1 предмет.
Сегодня мы приспособим этот принцип к задачам геометрии.
Учитель: Какими основными понятиями оперирует геометрия?
Ученик: Точка, прямая, плоскость.
Учитель: Да. Пусть все наши действия происходят на плоскости. Переформулируем принцип Дирихле так, чтобы он имел силу на плоскости. Для этого главными элементами принципа должны быть геометрические фигуры.
Поясним принцип в этом формулировки наглядном примере.
Поэтому легко понять, что существуют фигуры с общими внутренними точками, а принцип Дирихле утверждает, что таких фигур крайней мере k + 1. Этот принцип можно легко переформулировать для длин.
Если на отрезке длины l расположено несколько отрезков, сумма длин которых больше l, тогда по крайней мере два отрезка имеют общую точку.
Решим следующую задачу.
Задача. Докажите, что равносторонний треугольник нельзя покрыть двумя меньшими его равносторонними треугольниками.
Учитель: Сколько вершин данного равностороннего треугольника может покрыть меньше равносторонний треугольник?
Ученик: Не более одной.
Учитель: Тогда сколько нужно меньших равносторонних треугольников, чтобы они покрыли настоящее?
Ученик: Нужно, по крайней мере, 3 равносторонних треугольника.
Учитель: Таким образом мы доказали, что двумя треугольниками мы не сможем покрыть данный.
Задача (к доске идет ученик). На газоне в форме правильного треугольника со стороной 3м растет 10 гвоздик. Докажите, что найдутся 2 гвоздики, которые находятся друг от друга на расстоянии не более чем 10 м.
Начертим равносторонний треугольник. Разобьем каждую сторону на три равных отрезка длиной 1м. Соединим концы этих отрезков.
Учитель: Сколько треугольников мы получили?
Учитель: Какие эти треугольники?
Учитель: Если применить принцип Дирихле, то согласно принципу сколько гвоздик точно есть в каждом треугольнике? Какая между ними расстояние?
Ученик: В каждом треугольнике минимум 2 гвоздики расположенных на расстоянии 1м.
Учитель: Тогда если расположить в каждой из вершин треугольников гвоздики, то расстояние между ними 1м.
Следующая задача предназначена для самостоятельного решения.
Задача. Докажите, что в каждом многограннике найдутся две грани с одинаковым количеством сторон.
Проверяем решение задачи (устно).
Задача (к доске идет ученик). На листке тетради в клеточку обозначили 5 точек, расположенных в узлах клеток. Доказать, что хотя бы один из отрезков, соединяющих эти точки, проходит через узел клетки.
— Вспомните самое простое формулирование принципа Дирихле.
— Вспомните различные формулировки для принципа Дирихле (как алгебраические, так и геометрические).
ИИИ. Домашнее задание.
1. Составить формулировки принципа Дирихле для объемов.
В кругу радиуса 1 проведено несколько хорд, суммарная длина которых более 7. Докажите, что существует диаметр, который пересекает менее 8 хорд.
В единичном квадрате выбрали произвольно 51 точку. Доказать, что
какие три из них можно накрыть вокруг радиуса 1/7.
Занятия по алгебре в 9 классе.
Тема: Принцип Дирихле, графы и комбинаторика.
Цель: Связать принцип Дирихле с графами и комбинаторикой.
Тип урока: Обобщение изученного материала.
I. Проверка домашнего задания и актуализация опорных знаний.
— Сформулируйте принцип Дирихле.
— Где мы встречали этот принцип?
— Какие элементы нужно выделить в задаче, если при ее решении мы применяем принцип Дирихле?
Сегодня мы рассмотрим задачи на применение принципа Дирихле в различных разделах математики.
— Что такое граф, с чего он состоит?
— Вспомните, что такое размещение, расстановка и сообщения?
— Запишите формулы для их нахождения.
Задача. В классе 25 человек. Известно, что среди любых трех из них есть двое друзей. Докажите, что существует ученик, у которого не менее 12 друзей.
Выберем любых двух учеников класса, не дружат между собой (если таковых нет, то все ученики класса дружат между собой, значит, у каждого есть 24 друзья, и задача решена). С оставшихся 23 учеников каждый дружит с одним из двух, иначе мы должны тройку учеников, среди которых не было бы друзей. Тогда у одного из выбранных двух учеников не менее 12 друзей (23 «зайцы» рассаженных в двух «клетках»).
Задача. Узлы решетки размера 3 * 9 разрисованные двумя цветами. Докажите, что существуют 2 горизонтальные и 2 вертикальные прямые, на пересечении которых лежат четыре точки одного цвета.
Учитель: Каким количеством цветов может быть разрисован фрагмент?
? 
Ученик: Двумя цветами.
Учитель: Сколькими способами?
Учитель: Сколько вертикальных наборов?
Учитель: То есть вариантов раскрашивания 8, а наборов 9, что можно сказать?
Ученик: Согласно принципу Дирихле 2 набора будут раскрашены одинаково.
Учитель: Но в наборе минимум 2 узлы одного цвета, что из этого следует?
Ученик: Среди узлов решетки существует по крайней мере 4 узла одного цвета, которые образуют прямоугольник.
Задача (ученик идет к доске). Докажите, что среди любых 6 человек есть трое попарно знакомых, или трое попарно знакомых.
Учитель: То есть не благодаря сложными логическим рассуждениям задача решена.
Задача. Дано 20 натуральных чисел: а1 к) найдутся по крайней мере 4 равных.
Учитель: Сколько существует возможных положительных разниц данных чисел?
Ученик: С 
= 
=190.
Учитель: Какой промежутке принадлежат эти 190 цифр?
Учитель: Что получится, если применить принцип Дирихле?
Ученик: n = 63, 190 = 63 ∙ 3 + 1, k = 3. Согласно принципу Дирихле хотя k + 1 = 4 из этих цифр совпадают.
ИИИ. Обобщение материала.
— Сформулируйте принцип Дирихле.
— В каких разделах математики применяется принцип Дирихле.
— Назовите в задачах предметы, которые играли роль «зайцев» и «клеток».
ИУ. Домашнее задание:
1. В таблице 10 * 10 размещены целые числа, причем любые два числа в соседних клетках отличаются не более чем на 5 Докажите что среди этих чисел есть по крайней мере два равных.
2. В работе международной конференции принимают участие 17 ученых. Каждые двое из них разговаривают между собой одной из трех языков. Докажите, что среди участников конференции найдутся трое, говорящих между собой на одном языке.
3. Докажите, что среди любых 10 различных двузначных чисел можно выбрать две различные группы цифр так, чтобы суммы чисел в обеих группах были одинаковыми.
§7. Разработка факультативного занятия по теме «Принцип Дирихле» на интерактивной доске.
Хочу поблагодарить учителю математики санатория «Зеленая Горка» (м. Одеса) Крисану Ирине Витальевне за помощь в работе с интерактивной доской.
Выполнив работу, я могу сделать следующие выводы:
1. Главной задачей изучения математики является обеспечение прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни, а также достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.
2. Специфическое значение внеклассных занятий для развития творческого, абстрактного и логического мышления заключается в том, что на них всегда хватает времени для выявления самобытности мышления каждого ученика, для индивидуального подхода, для испытания различных дорог поиска решения проблемы.
Список использованной литературы