Короче, разница как между Венерой и Афродитой. Или между Марсом и Аресом. У нас вот, у математиков, нет постулатов. Одни аксиомы. А нельзя ли привести пример типичного постулата (про который точно известно, что все называют его именно постулатом, а не аксиомой) и типичной аксиомы. Вдруг можно будет на примере почуствовать разницу? Короче, разница как между Венерой и Афродитой. Или между Марсом и Аресом. У нас вот, у математиков, нет постулатов. Одни аксиомы. А нельзя ли привести пример типичного постулата (про который точно известно, что все называют его именно постулатом, а не аксиомой) и типичной аксиомы. Вдруг можно будет на примере почуствовать разницу? Постулаты
Допустим:
1. Что из всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.
2. И что ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. И что из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг.
4. И что все прямые углы равны между собой.
5. И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, [в сумме] меньшие двух прямых [углов], то, неограниченно продолженные, эти прямые встретятся с той стороны, где [внутренние] углы [в сумме] меньше двух прямых [углов]. Аксиомы
1. Равные одному и тому же равны между собой.
2. И если к равным прибавляются равные, то и целые [\те суммы] будут равны.
3. И если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. И если к неравным прибавляются равные, то целые будут не равны.
5. И удвоенные одного и того же равны между собой.
6. И половины одного и того же равны между собой.
7. И совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. И целое больше части.
9. И две прямые не содержат пространства. Источник глава из работы «Логические парадоксы. Пути решения» ПОСТУЛАТЫ И АКСИОМЫ Закон Буба: То, что ищешь, найдёшь, только обыскав всё. ЗАКОНЫ МЕРФИ (РАЗВИТАЯ МЕРФОЛОГИЯ
http://aphorism-list.com/merfi.php?page=razv1) В мышлении всё взаимосвязано. Отталкиваясь от, казалось бы, незначительных мелочей, можно прийти по цепочке умозаключений к фундаментальным положениям. И наоборот, размышляя над абстрактными категориями можно сделать вполне конкретные выводы относительно интересующих вопросов. При размышлении над парадоксальными ситуациями всегда используют стандартный подход и стереотипные способы мышления. Когда в логические рассуждения встраиваются не вполне чётко осознаваемые положения, интуитивно понимаемые, размытые определения и выражения, не имеющие, на самом деле, точного описания или обоснования. Если при повседневном использовании в речи нет необходимости в точном понимании выражений, то парадоксы прямо указывают на такую необходимость. Потому что без ясного понимания таких категорий, как «время действия», «истинность», «ложность», без осознания того, что знание конкретно и относительно, что неизвестное не может являться истинным или ложным, а значит, и в виде предположения не может быть принято за факт и основу истинных рассуждений, невозможно понять парадоксы и выйти из их закольцованных рассуждений. Подобные ошибки понимания и рассуждения можно найти и затем исправить. Гораздо труднее, а для некоторых и просто невозможно, устранить фундаментальные ошибки – принципы, постулаты, аксиомы, на которых строятся все последующие рассуждения. Ведь для этого необходимо даже не просто взглянуть по-новому на собственное мышление, а ещё и попытаться сконструировать новые аксиомы и постулаты, которые дадут более точное понимание окружающего мира, в частности – новое понимание логических выражений, в том числе и парадоксов. Новые принципы необходимо искать и создавать не всегда, а лишь когда старые уже не соответствуют реалиям, когда не могут помочь в объяснении охватываемых их областью фактов, не могут помочь в решении задач. Но и к новым аксиомам, постулатам необходимо подходить с такими же мерками – необходимо постоянно проверять их соответствие реалиям. Потому что в определённый момент времени возникнет ситуация, когда и эти, новые, принципы необходимо будет заменить другими. Потому что «знание относительно», познание окружающего мира не останавливается, понимание человеком действительности развивается. Поэтому нет гарантии ни для одного постулата, что он навечно будет истинным. С новым пониманием он будет заменён другим постулатом, более истинным, превратившись, фактически, в ложный или частично ложный. И в этом нет ничего страшного. Это всего лишь механизм «технологии познания»: когда старое знание заменяется новым. Осознание такой динамики тем более необходимо по причине того, что принимаемые за фундамент рассуждений аксиомы, постулаты сами на определённом этапе применения недоказуемы, что прямо и следует из их названия: «Аксиома (др.-греч. – утверждение, положение) или постулат – утверждение (факт), принимаемое истинным без доказательства, а также как «фундамент» для построения доказательств. Слово «аксиома», кроме того, имеет значения: 1. перен. то, что не требует никаких доказательств
2. утверждение, отрицание истинности которого отрицает основы логического мышления» (Википедия). Они лишь временно считаются истинными, потому что помогают в понимании. Но это не означает, что они не могут быть отброшены или изменены. Постулат не догма, а всего лишь высказывание, отражающее наше понимание законов действительности в определённый период времени. Прямым сигналом для необходимости корректировки постулатов является наличие фактов или даже противоречий, которые невозможно объяснить или разрешить на основе данного постулата. В данном случае таким сигналом является существование парадоксов. Они указывают на необходимость обновления, улучшения (upgrade) постулатов мышления. Потому что даже нахождение логических ошибок и корректировка рассуждения не во всех случаях дают решение логических парадоксов. Размышление над парадоксами «Критяне», «Лжец», «Миссионер и людоеды» и некоторыми другими привело меня к осознанию того факта, что используемый уже сотни и даже тысячи лет постулат Аристотеля «принцип исключённого третьего» не охватывает всех возможных случаев действительности и требует расширения. А именно, он указывает, что выражения всегда имеют только одно логическое значение, с чем я согласен, но при этом имеют одно из логических значений всегда, что не подтверждается и прямо опровергается существующими парадоксальными выражениями, в том числе и «открытыми», не имеющими «кольца понимания», как например, «я говорю правду». Исходя из этого, мне и пришлось прибегнуть в понимании и решении ряда парадоксальных выражений к «принципу исключённого четвёртого». Он, на мой взгляд, является гораздо более верным и даёт основу понимания парадоксальных и любых других выражений. Источник АксиомаАксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение), постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без необходимости доказательства и лежащее в основе доказательства других ее положений. [1] В современной науке аксиомы — это те положения теории, которые принимаются за исходные, причём вопрос об истинности решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теории. [1] Аксиоматиза́ция теории — явное указание конечного или счётного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Утверждения на основе аксиом называются теоремами. С формальной точки зрения, сами аксиомы также входят в число теорем. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и Евклидовой геометрии. Набор аксиом называется непротиворечивым, если из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение, и его отрицание. Аксиомы являются своего рода «точками отсчёта» для построения теорий в любой науке, при этом сами они не доказываются, а выводятся непосредственно из эмпирического наблюдения (опыта) или обосновываются в более глубокой теории. Австрийский математик Курт Гёдель доказал «теоремы о неполноте», согласно которым всякая система математических аксиом (формальная система) начиная с определённого уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна (то есть в достаточно сложных системах найдётся хотя бы одно высказывание, истинность и ложность которого не может быть доказана средствами самой этой системы). [2] СодержаниеИсторияВпервые термин «аксиома» встречается у Аристотеля (384—322 до н. э.) и перешёл в математику от философов Древней Греции. Евклид различает понятия «постулат» и «аксиома», не объясняя их различия. Со времён Боэция постулаты переводят как требования (petitio), аксиомы — как общие понятия. Первоначально слово «аксиома» имело значение «истина, очевидная сама по себе». В разных манускриптах Начал Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, не совпадает их порядок. Вероятно переписчики придерживались разных воззрений на различие этих понятий. Отношение к аксиомам как к неким неизменным самоочевидным истинам сохранялось долгое время. Например, в словаре Даля аксиома — это «очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств». Сейчас аксиомы обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых базовых элементов теории. Критерии формирования набора аксиом в рамках конкретной теории часто являются прагматическими: краткость формулировки, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий и т. п. Такой подход не гарантирует истинность принятых аксиом. Лишь подтверждение теории является одновременно и подтверждением набора её аксиом. [1] Источник АксиомаАксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение), постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без необходимости доказательства и лежащее в основе доказательства других ее положений. [1] В современной науке аксиомы — это те положения теории, которые принимаются за исходные, причём вопрос об истинности решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теории. [1] Аксиоматиза́ция теории — явное указание конечного или счётного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Утверждения на основе аксиом называются теоремами. С формальной точки зрения, сами аксиомы также входят в число теорем. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и Евклидовой геометрии. Набор аксиом называется непротиворечивым, если из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение, и его отрицание. Аксиомы являются своего рода «точками отсчёта» для построения теорий в любой науке, при этом сами они не доказываются, а выводятся непосредственно из эмпирического наблюдения (опыта) или обосновываются в более глубокой теории. Австрийский математик Курт Гёдель доказал «теоремы о неполноте», согласно которым всякая система математических аксиом (формальная система) начиная с определённого уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна (то есть в достаточно сложных системах найдётся хотя бы одно высказывание, истинность и ложность которого не может быть доказана средствами самой этой системы). [2] СодержаниеИсторияВпервые термин «аксиома» встречается у Аристотеля (384—322 до н. э.) и перешёл в математику от философов Древней Греции. Евклид различает понятия «постулат» и «аксиома», не объясняя их различия. Со времён Боэция постулаты переводят как требования (petitio), аксиомы — как общие понятия. Первоначально слово «аксиома» имело значение «истина, очевидная сама по себе». В разных манускриптах Начал Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, не совпадает их порядок. Вероятно переписчики придерживались разных воззрений на различие этих понятий. Отношение к аксиомам как к неким неизменным самоочевидным истинам сохранялось долгое время. Например, в словаре Даля аксиома — это «очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств». Сейчас аксиомы обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых базовых элементов теории. Критерии формирования набора аксиом в рамках конкретной теории часто являются прагматическими: краткость формулировки, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий и т. п. Такой подход не гарантирует истинность принятых аксиом. Лишь подтверждение теории является одновременно и подтверждением набора её аксиом. [1] Источник АксиомаАксио́ма (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение), постула́т — исходное положение какой-либо теории, принимаемое в рамках данной теории истинным без необходимости доказательства и лежащее в основе доказательства других ее положений. [1] В современной науке аксиомы — это те положения теории, которые принимаются за исходные, причём вопрос об истинности решается либо в рамках других научных теорий, либо посредством интерпретации данной теории. [1] Аксиоматиза́ция теории — явное указание конечного или счётного, рекурсивно перечислимого (как, например, в аксиоматике Пеано) набора аксиом и правил вывода. После того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Утверждения на основе аксиом называются теоремами. С формальной точки зрения, сами аксиомы также входят в число теорем. Примеры различных, но равносильных наборов аксиом можно встретить в математической логике и Евклидовой геометрии. Набор аксиом называется непротиворечивым, если из аксиом набора, пользуясь правилами логики, нельзя прийти к противоречию, то есть доказать одновременно и некое утверждение, и его отрицание. Аксиомы являются своего рода «точками отсчёта» для построения теорий в любой науке, при этом сами они не доказываются, а выводятся непосредственно из эмпирического наблюдения (опыта) или обосновываются в более глубокой теории. Австрийский математик Курт Гёдель доказал «теоремы о неполноте», согласно которым всякая система математических аксиом (формальная система) начиная с определённого уровня сложности либо внутренне противоречива, либо неполна (то есть в достаточно сложных системах найдётся хотя бы одно высказывание, истинность и ложность которого не может быть доказана средствами самой этой системы). [2] СодержаниеИсторияВпервые термин «аксиома» встречается у Аристотеля (384—322 до н. э.) и перешёл в математику от философов Древней Греции. Евклид различает понятия «постулат» и «аксиома», не объясняя их различия. Со времён Боэция постулаты переводят как требования (petitio), аксиомы — как общие понятия. Первоначально слово «аксиома» имело значение «истина, очевидная сама по себе». В разных манускриптах Начал Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, не совпадает их порядок. Вероятно переписчики придерживались разных воззрений на различие этих понятий. Отношение к аксиомам как к неким неизменным самоочевидным истинам сохранялось долгое время. Например, в словаре Даля аксиома — это «очевидность, ясная по себе и бесспорная истина, не требующая доказательств». Сейчас аксиомы обосновываются не сами по себе, а в качестве необходимых базовых элементов теории. Критерии формирования набора аксиом в рамках конкретной теории часто являются прагматическими: краткость формулировки, удобство манипулирования, минимизация числа исходных понятий и т. п. Такой подход не гарантирует истинность принятых аксиом. Лишь подтверждение теории является одновременно и подтверждением набора её аксиом. [1] Источник |