Почему правильная дробь ближе к 1 чем неправильная

Исследовательская работа по математике в 6 классе

Описание презентации по отдельным слайдам:

Исследовательская работа в 6 классе Тема работы: «Исследование свойств обыкновенных дробей» Вашкевич Татьяна Сергеевна, учитель математики

Постановка проблемы Не приводя к общему знаменателю, сравните дроби «Если к числителю и знаменателю обыкновенных дробей прибавить одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится».

Подумайте над вопросами Даны две дроби – правильная и обратная к ней неправильная. Какая из этих дробей ближе к единице? 2) Существуют ли дроби правильная и обратная к ней неправильная находящиеся на одинаковом расстоянии от 1?

Доказательство выдвинутых гипотез Докажем, что правильная дробь ближе к 1, чем неправильная. Чтобы найти длину отрезка на координатной прямой, надо из координаты его правого конца вычесть координату его левого конца. Пусть А(1), В( а\с), С(с\а ) 1– а\с = с\с – а\с = (с – а)\с; с\а – 1 = с\а – а\а = (с-а)\а ; с-а\с а). 0 1 а\с с\а А В С

Доказательство выдвинутых гипотез Докажем, что не существует такой правильной дроби и обратной к ней, которые находятся на одинаковом расстоянии от 1. (с– а)\с ≠ (с – а)\а, так как с ≠ а

Выводы 1. если к числителю и знаменателю правильной дроби прибавлять одно и тоже натуральное число, то значение данной дроби будет увеличиваться и приближаться к 1 2. если к числителю и знаменателю неправильной дроби прибавлять одно и тоже натуральное число, то значение данной дроби будет уменьшаться и приближаться к 1 3. на координатной прямой правильная дробь расположена ближе к 1, чем обратная к ней неправильная дробь 4. не существует такой правильной дроби и обратной к ней неправильной дроби, которые находятся на одинаковом расстоянии от 1 5. в результате исследования гипотеза, что «если к числителю и знаменателю обыкновенных дробей прибавить одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится» не подтвердилась

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 80

с углубленным изучением английского языка Петроградского района

сценария урока для учащихся 6 класса

Тема: «Исследование свойств обыкновенных дробей»

Вашкевич Татьяной Сергеевной

высшей квалификационной категории

Исследовательская и проектная деятельность учащихся являются результативным способом достижения одной из важнейших целей образования: научить детей самостоятельно мыслить, ставить и решать проблемы, привлекая знания из разных областей; уметь прогнозировать вариативность результатов.

1. развитие творческого потенциала учащихся

2. научить детей самостоятельно мыслить, ставить и решать проблемы, привлекая знания из разных областей

3. уметь прогнозировать вариативность результатов

4. развитие информационной культуры

5. повышение интереса к предмету

воспитательная: продолжить работу по воспитанию:

1. навыков учебного труда

2. культуры устной и письменной математической речи

3. взаимопомощи, культуры общения, способствующей созданию благоприятного психологического климата

4. внимания, аккуратности, самоконтроля

развивающая: продолжить развитие

1. информационной компетенции

2. ценностно-смысловых компетенций

3. учебно-познавательных компетенций

4. коммуникативной компетенции

5. компетенций личностного самосовершенствования

6. общекультурных компетенций

Тип урока : урок изучения нового материала

Вид урока : урок – исследование

Педагогические технологии, используемые на уроке : элементы проектной технологии через исследовательскую деятельность на решение проблемы; технология обучения в сотрудничестве (работа в парах), здоровьесберегающие технологии, информационно-коммуникативные технологии

Дидактические материалы и средства обучения:

— печатные (учебники, технологические карты)

— экранные (презентация к уроку в виде слайдов)

Оформление урока – слайды, компьютер

Форма работы: работа в парах

Цель исследования:
Найти способы сравнения обыкновенных дробей, не приводя их к общему знаменателю
Задачи исследования:
1. Исследовать изменение величины правильной дроби, если к числителю и знаменателю дроби прибавлять одно и тоже натуральное число
2. Исследовать изменение величины неправильной дроби, если к числителю и знаменателю дроби прибавлять одно и тоже натуральное число
3. Определить какая из дробей правильная или обратная к ней неправильная будет ближе к 1 на координатной прямой.
4. Рассмотреть применение результатов исследования при решении задач
Объект исследования: математика
Предмет исследования: обыкновенные дроби
Гипотеза исследования: если к числителю и знаменателю обыкновенных дробей прибавить одно и тоже натуральное число, то значение дроби не изменится.

1. Постановка проблемы:

Задача: Не приводя к общему знаменателю, сравните дроби

Возможные решения (разобрать подробно)

Чтобы выполнить это задание нам необходимо выяснить справедливость следующего утверждения:

«Если к числителю и знаменателю обыкновенных дробей прибавить одно и то же натуральное число, то значение дроби не изменится».

И сейчас мы с вами перемещаемся в научно-исследовательскую лабораторию, где нам и предстоит решить поставленную задачу.

2.Работа в парах. ( Каждая пара получает технологическую карту)

Исследовательская работа № 1

«Изменение величины правильной дроби»

К числителю и знаменателю правильной дроби прибавьте одно и тоже натуральное число. Заполните таблицу:

Источник

Правильные и неправильные дроби.

Виды дробей.

Как вы уже заметили дроби бывают разные. Например, \(\frac<1><2>, \frac<3><5>, \frac<5><7>, \frac<7><7>, \frac<13><5>, …\)

Делятся дроби на два вида правильные дроби и неправильные дроби.

В правильной дроби числитель меньше знаменателя, например, \(\frac<1><2>, \frac<3><5>, \frac<5><7>, …\)

В неправильной дроби числитель больше или равен знаменателю, например, \(\frac<7><7>, \frac<9><4>, \frac<13><5>, …\)

Правильная дробь всегда меньше единицы. Рассмотрим пример:

Единицу мы можем представить как дробь \(1 = \frac<3><3>\)

Знаменатели одинаковые равны числу 3, далее сравниваем числители.

Вопросы по теме “Правильные или неправильные дроби”:
Может ли правильная дробь быть больше 1?
Ответ: нет.

Может ли правильная дробь равна 1?
Ответ: нет.

Может ли неправильная дробь меньше 1?
Ответ: нет.

Пример №1:
Напишите:
а) все правильные дроби со знаменателем 8;
б) все неправильные дроби с числителем 4.

Решение:
а) У правильных дробей знаменатель больше числителя. Нам нужно в числитель поставить числа меньшие 8.
\(\frac<1><8>, \frac<2><8>, \frac<3><8>, \frac<4><8>, \frac<5><8>, \frac<6><8>, \frac<7><8>.\)

б) В неправильной дроби числитель больше знаменателя. Нам нужно в знаменатель поставить числа меньшие 4.
\(\frac<4><4>, \frac<4><3>, \frac<4><2>, \frac<4><1>.\)

Пример №2:
При каких значениях b дробь:
а) \(\frac<12>\) будет правильной;
б) \(\frac<9>\) будет не правильной.

Решение:
а) b может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.
б) b может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Задача №1:
Сколько минут в часе? Какую часть часа составляет 11 мин.?

Ответ: В часе 60 минут. Три минуты составят \(\frac<11><60>\) часа.

Источник

Правильные и неправильные дроби

Обыкновенные дроби делятся на правильные и неправильные.

Правильные дроби

Правильная дробь — это обыкновенная дробь, у которой числитель меньше знаменателя.

Чтобы узнать является ли дробь правильной, надо сравнить её члены между собой. Члены дроби сравниваются в соответствии с правилом сравнения натуральных чисел.

Пример. Рассмотрим дробь:

у которой 7 — это числитель, а 8 — знаменатель. Сравним числитель со знаменателем:

7 Пример 1. Рассмотрим дробь:

у которой 8 — это числитель, а 7 — знаменатель. Сравним числитель со знаменателем:

Так как числитель больше знаменателя, значит данная дробь является неправильной.

Пример 2. Рассмотрим дробь:

Сравним числитель со знаменателем:

Так как числитель равен знаменателю, значит данная дробь является неправильной.

Любая неправильная дробь больше единицы или равна ей:

Обратите внимание, что любое натуральное число можно представить в виде неправильной дроби, следующим образом:

Дробь с числителем p и знаменателем 1 – это другая форма записи натурального числа p: .

Число 0 принято считать равным дроби вида , где q — любое натуральное число:

Любую неправильную дробь, у которой числитель больше знаменателя можно представить в виде смешанного числа.

Сравнение правильных и неправильных дробей

Любая неправильная обыкновенная дробь больше правильной, так как правильная дробь всегда меньше единицы, а неправильная больше единицы или равна ей.

Источник

Сравнение дробей: как правильно

Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Как и при любом другом сравнении, суть сравнения дробей — в том, чтобы определить меньшую и большую дроби.

Нет ситуации более благоприятной для сравнения, чем дроби с одинаковыми знаменателями. Если вся разница между дробями только в числителях, пользуемся следующим правилом:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше дробь с большим числителем. А меньше будет та дробь, числитель которой меньше.

А теперь на примерах.

Пример 1. Сравните дроби:

Пример 3. Сравните дроби:

Как видите, нет ничего сложного в сравнении дробей, если знаменатели равны. Вся задача заключается в том, чтобы определить больший и меньший числитель.

Давайте разберем наглядный пример сравнения дробей. Еще больше наглядных примеров — на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart!

Допустим, в торте 6 кусков. Если от целого торта отрезать один кусок — в торте останется 5 кусков.

Понять, что целый торт больше, чем торт без одного куска, можно и без сравнения дробей. Но это же самое правило можно применить и при менее очевидных сравнениях, которые часто встречаются в повседневной жизни.

Сравнение дробей с одинаковыми числителями

Вы уже разобрались со сравнением дробей с одинаковыми знаменателями. Теперь задача чуть усложняется — научимся сравнивать дроби с разными знаменателями, но с одинаковыми числителями.

Если у двух дробей одинаковые числители, то больше будет та дробь, чей знаменатель меньше. А меньше будет дробь с большим знаменателем.

А теперь наши любимые примеры. Погнали!

Пример 1. Сравните дроби:

Пример 3. Сравните дроби:

Сравнение дробей с разными числителями и разными знаменателями

Нет ничего хитрого в сравнении дробей с одинаковыми числителями или знаменателями. Чуть больше усилий потребуется при сравнении дробей, в которых нет ничего одинакового.

Сначала вспомним, как привести дроби к общему знаменателю.
Рассмотрим пример дробей с разными знаменателями.

Давайте потренируемся в сравнении дробей.

Пример 1. Сравните дроби:

При сравнении неправильных дробей с правильными помните, что неправильная дробь всегда больше правильной.

Пример 2: Сравните дроби:

Вычитание смешанных чисел

Вычитание проходит гладко, когда уменьшаемое больше вычитаемого.

В случае, если вычитаемое больше уменьшаемого, разность оказывается отрицательной. В этом нет ничего страшного. Но математика в 5 классе — «положительная», поэтому научимся находить разность смешанных чисел, не скатываясь «в минусы».

При вычитании дробей действует тот же самый принцип: вычитаемое должно быть меньше уменьшаемого. Вот здесь то вам и пригодится навык сравнивать дроби.

Пример 1. Вычислите:

Вычитаемая дробь меньше уменьшаемой

Пример 2.Найдите разность:

Примеры для самопроверки

Теория — это, конечно, хорошо. Но без практики — никуда. Пора потренироваться в решении примеров и закрепить тему сравнения дробей.

Пример 1. Сравните дроби:

Ответ: по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями, больше та дробь, у которой числитель больше. Это значит, что

Пример 2. Сравните дроби:

Ответ: по правилу сравнения дробей с разными знаменателями и одинаковыми числителями, больше та дробь, чей знаменатель меньше. Это значит, что

Пример 3. Сравните дроби:

Ответ:.

Источник

Сравнение неправильных дробей правила и примеры.

Неправильные дроби сравниваем по тем же правилам, что и обыкновенные дроби или правильные дроби. Рассмотрим подробно эти правила.

Сравнение неправильных дробей с одинаковыми знаменателями.

Есть несколько правил сравнения неправильных дробей с одинаковыми знаменателями:

Рассмотрим пример:
Выполните сравнение неправильных дробей с одинаковыми знаменателями: а) \(\frac<20><13>\) и \(\frac<15><13>\) б) \(\frac<-161><57>\) и \(\frac<-98><57>\) г) \(\frac<17><3>\) и \(\frac<-11><3>\)

Решение:
а) Раз у дробей \(\frac<20><13>\) и \(\frac<15><13>\) одинаковые знаменатели переходим к сравнению числителей 20>15,

Сравнение неправильных дробей с одинаковыми числителями.

Пример:
Выполните сравнение неправильных дробей с одинаковыми числителями: а) \(\frac<21><9>\) и \(\frac<21><10>\) б) \(\frac<-15><3>\) и \(\frac<-15><4>\)

Решение:
а) У неправильных дробей с одинаковыми положительными числителями \(\frac<21><9>\) и \(\frac<21><10>\), та дробь больше, где знаменатель меньше 9 \frac<21><10>\)

б) У неправильных дробей с одинаковыми отрицательными числителями \(\frac<-15><3>\) и \(\frac<-15><4>\), та дробь больше где знаменатель больше 3 44, следовательно,

Сравнение неправильной дроби с правильной дробью.

Пример:
Сравните правильную дробь и неправильную дробь: а) \(\frac<14><13>\) и \(\frac<13><14>\) б) \(-\frac<27><6>\) и \(-\frac<17><18>\)

Решение:
а) Правильная и неправильная дробь положительны, поэтому неправильная дробь больше правильной дроби.

б) Правильная и неправильная дробь отрицательны, поэтому неправильная дробь меньше правильной дроби.

б) Неправильная дробь \(-\frac<4><3>\) отрицательна, поэтому \(0 1\)

Равные неправильные дроби.

Правило равных неправильных дробей:

Неправильные дроби равны тогда, когда при одинаковых знаменателях равны их числители. Например:

You may also like:

Сравнение рациональных чисел, определения и примеры.

Добавить комментарий Отменить ответ

Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться.

Источник