определить взаимное расположение плоскостей
Математический портал
Nav view search
Navigation
Search
Взаимное расположение плоскостей, угол между плоскостями.
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Условие параллельности двух плоскостей:
Условия перпендикулярности двух плоскостей:
Угол между плоскостями:
Примеры.
Решение.
Вычислим угол между заданными плоскостями.
$P_2: y+3z-1=0, \Rightarrow\overline
Соответственно, плоскости пересекаются и косинус кратчайшего угла между плоскостями
Решение.
Вычислим угол между заданными плоскостями.
Соответственно, плоскости пересекаются и косинус кратчайшего угла между плоскостями
Решение.
Домашнее задание.
Взаимное расположение плоскостей: параллельность, перпендикулярность, пересечение трёх плоскостей в одной точке
Угол между двумя плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
Пусть две плоскости 
и 
заданы общими уравнениями 
и 
.
Вопрос об определении угла между ними сводится к определению угла 
между векторами нормалей к ним
и 
.
Из определения скалярного произведения 
и из выражения в координатах длин векторов 
и 
и их скалярного произведения получим
Условие параллельности плоскостей и эквивалентно условию коллинеарности векторов и и заключается в пропорциональности координат этих векторов:
.
Условие перпендикулярности плоскостей и может быть выражено равенством нулю скалярного произведения векторов нормалей к ним и :
.
Решение. Составим уравнения коэффициентов уравнений плоскостей:
Так как 
, то коэффициенты пропорциональны, следовательно данные две плоскости параллельны.
Пример 2. Установить, перпендикулярны ли плоскости, заданные уравнениями 
и 
.
Решение. Плоскости перпендикулярны в том случае, когда векторы 
и 
нормалей к ним перпендикулярны и удовлетворяют условию равенства нулю их скалярного произведения. Так как 
, то указанное условие выполнено и, значит, данные плоскости перпендикулярны.
Условие пересечения трёх плоскостей в одной точке, точка пересечения
Необходимым и достаточным условием того, что три плоскости имеют только одну общую точку (то есть, пересекаются в этой точке), является условие неравенства нулю определителя, составленного из коэффициентов уравнений:
Это условие совпадает с условием того, что система линейных уравнений имеет одно единственное решение (пройдя по ссылке можно увидеть иллюстрацию как раз на примере плоскостей).
Решение системы общих уравнений плоскостей (если оно существует и единственное) и даёт точку пересечения трёх плоскостей.
Пример 3. Установить, пересекаются ли три плоскости в одной точке, если пересекаются, найти точку пересечения. Плоскости заданы уравнениями:
Решение. Сначала проверим, выполняется ли условие пересечения плоскостей в одной точке. Для этого установим, отличен ли от нуля определитель системы:
Определитель отличен от нуля, следовательно система уравнений имеет единственное решение, а, значит, три плоскости пересекаются в одной точке.
Для нахождения этой точки продолжим решать систему уравнений методом Крамера. Перенесём свободные члены в правые части уравнений:
Найдём определители при неизвестных:
Нетрудно заметить, что по формулам Крамера (определитель при неизвестной делить на определитель системы) все неизвестные оказались равными единице. Таким образом, получили точку пересечения трёх плоскостей:
Для проверки решения подобных задач целесообразно воспользоваться калькулятором, решающим системы уравнений методом Крамера.
Пример 4. Установить, пересекаются ли три плоскости в одной точке, если пересекаются, найти точку пересечения. Плоскости заданы уравнениями:
Решение. Проверим, пересекаются ли плоскости в одной точке. Для этого вычислим определитель системы:
Определитель равен нулю, следовательно, данные три плоскости не пересекаются в одной точке.
Для проверки решения подобных задач целесообразно воспользоваться калькулятором, решающим системы уравнений методом Крамера.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной данной плоскости
Пусть даны точка 
и плоскость 
. Тогда уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и параллельной данной плоскости, имеет вид
.
Решение. Подставляем в формулу, данную в теоретической сравке к этой главе, данные точки и другой плоскости. Получаем:
Последнее и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через данную точку, и параллельной данной плоскости.
Взаимное расположение плоскостей
Параллельные плоскости
Получим условия параллельности или совпадения двух плоскостей и заданных общими уравнениями:
Необходимым и достаточным условием параллельности или совпадения плоскостей (4.23) является условие коллинеарности их нормалей Следовательно, если плоскости (4.23) параллельны или совпадают, то т.е. существует такое число что
Плоскости совпадают, если помимо этих условий справедливо Тогда первое уравнение в (4.23) имеет вид т.е. равносильно второму, поскольку
Таким образом, плоскости (4.23) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число что но Плоскости (4.23) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны: и
Условия параллельности и совпадения плоскостей (4.23) можно записать в виде
Отсюда следует критерий параллельности или совпадения двух плоскостей (4.23):
Поверхности уровня линейного четырехчлена
Поверхностью уровня функции трех переменных называется геометрическое место точек координатного пространства в которых функция принимает постоянное значение, т.е.
Для линейного четырехчлена уравнение поверхности уровня имеет вид
При любом фиксированном значении постоянной уравнение (4.24) описывает плоскость. Рассмотрим поведение семейства поверхностей уровня, отличающихся значением постоянной. Поскольку коэффициенты и не изменяются, то у всех плоскостей (4.24) будет одна и та же нормаль Следовательно, поверхности уровня линейного четырехчлена D представляют собой семейство параллельных плоскостей (рис.4.19). Поскольку нормаль совпадает с градиентом (см. пункт 3 замечаний 4.2), а градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции, то при увеличении постоянной поверхности уровня (4.24) переносятся параллельно в направлении нормали.
Пересекающиеся плоскости
Необходимым и достаточным условием пересечения двух плоскостей (4.22) является условие неколлинеарности их нормалей, или, что то же самое, условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных:
При этом условии система уравнений
имеет бесконечно много решений, которые определяют прямую пересечения плоскостей, заданных уравнениями (4.23).
Угол между плоскостями
Угол между двумя плоскостями можно определить как угол между их нормальными векторами. По этому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополняющих друг друга до В элементарной геометрии из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина угла между двумя плоскостями удовлетворяет условию
Если — нормали к плоскостям и соответственно (рис.4.20,а), то величина угла между этими плоскостями вычисляется по формуле:
Необходимым и достаточным условием перпендикулярности плоскостей (4.23) является условие ортогональности их нормалей, т.е.
При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла (рис.4.20). Величина двугранного угла удовлетворяет условию
Пример 4.10. Найти величину того угла, образованного плоскостями и внутри которого лежит точка
Решение. По уравнениям плоскостей находим нормали а также величину угла между нормалями, используя (4.26):
Подставляя координаты точки в левые части уравнений плоскостей, выясняем, каким полупространствам принадлежит эта точка. Для плоскости имеем 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> значит, точка лежит в положительном полупространстве, определяемом плоскостью Для плоскости имеем 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> значит, точка лежит также в положительном полупространстве, определяемом плоскостью Поскольку точка принадлежит одноименным полупространствам (положительным), то искомый угол — это угол смежный найденному углу
Пучки плоскостей
Собственным пучком плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через фиксированную прямую ( ось пучка ).
Несобственным пучком плоскостей называется совокупность плоскостей, параллельных фиксированной плоскости (осью несобственного пучка плоскостей считается бесконечно удаленная прямая).
Любые две плоскости и определяют пучок плоскостей, содержащий заданные плоскости и Если плоскости и пересекаются, то прямая пересечения является осью собственного пучка (рис.4.21,а). Если плоскости и параллельны, то они определяют несобственный пучок параллельных плоскостей (рис.4.21,б).
Пусть заданы уравнения двух плоскостей (4.23):
Линейной комбинацией этих уравнений называется уравнение
где числа — коэффициенты линейной комбинации. Его можно записать в форме
Заметим, что линейная комбинация уравнений является уравнением первой степени для любых значений коэффициентов, кроме случая, когда все коэффициенты при неизвестных равны нулю, т.е. при одновременном выполнении условий
Эти значения параметров считаются недопустимыми.
Уравнение (4.27) называется уравнением пучка плоскостей, содержащего плоскости
При любых допустимых значениях параметров уравнение (4.27) задает плоскость, принадлежащую пучку, и наоборот, для любой плоскости пучка найдутся такие значения параметров что уравнение (4.27) будет задавать эту плоскость.
Доказательство утверждения аналогично доказательству свойства пучка прямых.
Пример 4.11. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей и через точку
Решение. Искомая плоскость входит в пучок плоскостей, задаваемый уравнением (4.27)
Подставляя координаты точки получаем:
Возьмем, например, и подставим в уравнение пучка:
Итак, искомое уравнение получено.
Связки плоскостей
Собственной связкой плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через фиксированную точку ( центр связки ).
Несобственной связкой плоскостей называется совокупность плоскостей, параллельных фиксированной прямой (центром несобственной связки плоскостей считается бесконечно удаленная точка).
Уравнение собственной связки плоскостей с центром имеет вид
где — произвольные параметры, одновременно не равные нулю.
Уравнение связки плоскостей (собственной (рис.4.22,а) или несобственной (рис.4.22,6)) можно получить в виде линейной комбинации уравнений трех плоскостей:
где — коэффициенты линейной комбинации. Заметим, что линейная комбинация уравнений является уравнением первой степени для любых значений коэффициентов, кроме случая, когда все коэффициенты при неизвестных равны нулю. Эти значения параметров считаются недопустимыми.
Уравнение (4.28) называется уравнением связки плоскостей, содержащей три плоскости
При любых допустимых значениях параметров уравнение (4.28) задает плоскость, принадлежащую связке, и наоборот, для любой плоскости связки найдутся такие значения параметров что уравнение (4.28) будет задавать эту плоскость.
Доказательство утверждения аналогично доказательству свойства пучка прямых.
Взаимное расположение двух плоскостей.
Две различные плоскости в пространстве либо параллельны, либо пересекаются.
Параллельность двух плоскостей
Определение. Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются.
Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.
Основные свойства параллельности плоскостей.
Пересечение двух плоскостей
Две плоскости пересекаются по прямой. Общая прямая двух плоскостей называется ребром двугранного угла, образованного при пересечении данных плоскостей. При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Если все они равны, то плоскости называются перпендикулярными.
Признак перпендикулярности плоскостей. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
Из признака перпендикулярности плоскостей следует, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
Угол между плоскостями — наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.
Угловая величина двугранного угла — это величина линейного угла данного двугранного угла.
Чтобы найти линейный угол двугранного угла надо из произвольной точки на ребре двугранного угла провести в каждой плоскости по перпендикуляру к этому ребру. Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.
Тренировочные задания
Дан куб 
. Найдите угол между плоскостями 
и 
.
Дан куб . Точка 
— середина ребра 
. Найдите угол между плоскостями 
и 
.
В кубе все рёбра равны 
. На его ребре 
отмечена точка так, что 
. Через точки и 
построена плоскость 
, параллельная прямой 
. Найдите угол наклона плоскости к плоскости грани 
.
Дана правильная треугольная призма 
, у которой сторона основания равна 
, а боковое ребро равно 
. Через точки 
, и середину 
ребра 
проведена плоскость. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью ABC.
Все рёбра правильной треугольной призмы имеют длину 
. Точки 
и 
— середины рёбер 
и 
соответственно. Найдите угол между плоскостями 
и 
.
Основанием пирамиды 
является прямоугольник 
, в котором 
. Диагонали прямоугольника пересекаются в точке 
. Отрезок 
является высотой пирамиды . Из вершин 
и 
опущены перпендикуляры 
и 
на ребро 
. Найдите двугранный угол пирамиды при ребре , если 
.
В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 
, а высота призмы равна 
. Точка 
лежит на диагонали , причём 
. Найдите угол между плоскостью 
и плоскостью 
.