Пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — произвольный многоугольник, а остальные — боковые грани — треугольники с общей вершиной, называемой вершиной пирамиды.
По числу углов основания различают пирамиды треугольные, четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.
Для расчета объемов других тел воспользуйтесь этим калькулятором: калькулятор объемов фигур.
Элементы пирамиды.
Вспомогательные формулы.
1. Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:
2. Полная поверхность — это сумма площади боковой поверхности и площади основания:
3. Боковая поверхность — это сумма площадей боковых граней:
P — периметр основания,
n — число сторон основания,
α — плоский угол при вершине пирамиды.
Общая формула, по которой можно найти объем пирамиды.
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S (ABCDE) на высоту h (OS)
, где
S – площадь основания пирамиды,
h – высота пирамиды
— объём параллелепипеда;
Правильная пирамида.
Правильная пирамида — пирамида, в основании, которой лежит правильный многоугольник, а высота проходит через центр вписанной окружности в основание.
Формула для вычисления объема правильной пирамиды:
Правильная треугольная пирамида.
Правильная треугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является равносторонний треугольник и грани равные равнобедренные треугольники.
Формула для нахождения объема правильной треугольной пирамиды:
Правильная четырехугольная пирамида.
Правильная четырехугольная пирамида — пирамида, у которой основанием является квадрат и грани равные равнобедренные треугольники.
Формула для определения объема правильной четырехугольной пирамиды:
Тетраэдр.
Тетраэдр — пирамида, у которой все грани — равносторонние треугольники.
Формулы для вычисления объема тетраэдра:
— скрещивающиеся рёбра, — расстояние между a1 и a2, — угол между a1 и a2;
Усеченная пирамида.
Сечение параллельное основанию пирамиды делит пирамиду на две части. Часть пирамиды между ее основанием и этим сечением — это усеченная пирамида.
Объем усеченной пирамиды равен одной трети произведения высоты h (OS) на сумму площадей верхнего основания S1 (abcde), нижнего основания усеченной пирамиды S2 (ABCDE) и средней пропорциональной между ними.
Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины (также апофемой называют длину перпендикуляра, опущенного из середины правильного многоугольника на одну из его сторон);
Боковые грани — треугольники, сходящиеся в вершине;
Боковые ребра — общие стороны боковых граней;
Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;
Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);
Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;
Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.
Объем пирамиды через площадь основания и высоту
Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания S(ABCDEF) на высоту h (OS)
\[ \LARGE V = \frac<1> <3>\cdot S \cdot h \]
Калькулятор объема пирамиды через площадь основания и высоту
Объём усечённой пирамиды
\[ \LARGE V = \frac<1> <3>\cdot h \cdot \left( S_1 + \sqrt + S_2 \right) \]
Калькулятор объема усечённой пирамиды
Объём правильной пирамиды
Объем правильной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного многоугольника, являющегося основанием S (ABCDEF) на высоту h (OS)
Калькулятор объёма правильной пирамиды
Объём правильной треугольной пирамиды
Объем правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC) на высоту h (OS)
Основанием может быть любой многоугольник. Но в большинстве задач на ЕГЭ речь в условии, как правило, идёт о правильных пирамидах. Напомню одно из её свойств:
Вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания
Посмотрите на проекцию правильной треугольной, четырёхугольной и шестиугольной пирамид (ВИД СВЕРХУ):
Можете посмотреть ещё одну статью на блоге, где разбирались задачи связанные с нахождением объёма пирамиды.
27087. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна корню из трёх.
Объём пирамиды вычисляется по формуле:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Найдём площадь основания пирамиды, это правильный треугольник. Воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:
Таким образом, объём пирамиды равен:
27088. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен корню из трёх.
Такие понятия как высота пирамиды и характеристики её основания связаны формулой объёма:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Сам объём нам известен, площадь основания можем найти, так как известны стороны треугольника, который является основанием. Зная указанные величины без труда найдём высоту.
Для нахождения площади основания воспользуемся формулой – площадь треугольника равна половине произведения соседних сторон на синус угла между ними, значит:
Таким образом, подставив данные значения в формулу объема можем вычислить высоту пирамиды:
27109. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
Объём пирамиды вычисляется по формуле:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Высота нам известна. Необходимо найти площадь основания. Напомню, что вершина правильной пирамиды проецируется в центр её основания. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат. Мы можем найти его диагональ. Рассмотрим прямоугольный треугольник (выделен синим):
Отрезок соединяющий центр квадрата с точкой В это катет, который равен половине диагонали квадрата. Этот катет можем вычислить по теореме Пифагора:
Значит BD = 16. Вычислим площадь квадрата воспользовавшись формулой площади четырёхугольника:
Таким образом, объём пирамиды равен:
27178. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды.
Высота пирамиды и её и объём известны, значит можем найти площадь квадрата, который является основанием. Зная площадь квадрата, мы сможем найти его диагональ. Далее рассмотрев прямоугольный треугольник по теореме Пифагора вычислим боковое ребро:
Найдём площадь квадрата (основания пирамиды):
Вычислим диагональ квадрата. Так как его площадь равна 50, то сторона будет равна корню из пятидесяти и по теореме Пифагора:
Точка О делит диагональ BD пополам, значит катет прямоугольного треугольника ОВ = 5.
Таким образом, можем вычислить чему равно боковое ребро пирамиды:
245353. Найдите объем пирамиды, изображенной на рисунке. Ее основанием является многоугольник, соседние стороны которого перпендикулярны, а одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания и равно 3.
Как уже неоднократно было сказано – объём пирамиды вычисляется по формуле:
S – площадь основания пирамиды
h – высота пирамиды
Боковое ребро перпендикулярное основанию равно трём, это означает, что высота пирамиды равна трём. Основания пирамиды – это многоугольник, площадь которого равна:
27086. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.
27111. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.
1. Пусть SABC – треугольная пирамида с вершиной S и основанием АВС.
2. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой.
3. Эта призма составлена из трех пирамид:
1) данной пирамиды SABC.
3) и пирамиды SCBB1.
4. У второй и третьей пирамид равные основания СС1В1 и В1ВС и общая высота, проведенная из вершины S к грани параллелограмма ВВ1С1С. Поэтому у них равные объемы.
5. У первой и третьей пирамид тоже равные основания SAB и BB1S и совпадающие высоты, проведенные из вершины С к грани параллелограмма АВВ1S. Поэтому у них тоже равные объемы.
Значит, все три пирамиды имеют один и тот же объем. Так как сумма этих объемов равна объему призмы, то объемы пирамид равны SH/3.
Объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту.
3. Закрепление нового материала. Решение упражнений.
1) Задача № 33 из учебника А.Н. Погорелова. Слайды 7, 8, 9
В правильной пирамиде высота проходит через центр окружности, описанной около основания. Тогда: (Приложение)
4. Исторические сведения о пирамидах. Слайды 15, 16, 17
Первым из наших современников, кто установил ряд необычных явлений, связанных с пирамидой, был французский ученый Антуан Бови. Исследуя пирамиду Хеопса в 30-х годах двадцатого столетия, он обнаружил, что тела мелких животных, случайно попавших в царскую комнату, мумифицировались. Причину этого Бови объяснил для себя формой пирамиды и, как оказалось, не ошибся. Его труды легли в основу современных исследований, в результате которых за последние 20 лет появилось множество книг и публикаций, подтверждающих, что энергия пирамид может иметь прикладное значение.
Цифровое значение кода, которым зашифрована в пирамиде информация о Вселенной, число 365, выбрано не случайно. Прежде всего, это годичный жизненный цикл нашей планеты. Кроме того, число 365 состоит из трех цифр 3, 6 и 5. Что они означают? Если в Солнечной системе Солнце проходит под номером 1, Меркурий – 2, Венера – 3, Земля – 4, Марс – 5, Юпитер – 6, Сатурн – 7, Уран – 8, Нептун – 9, Плутон – 10, то 3 – это Венера, 6 – Юпитер и 5 – Марс. Следовательно, Земля особенным образом связана именно с этими планетами. Сложив числа 3, 6 и 5, получаем 14, из которых 1 – это Солнце, а 4 – Земля.
Число 14 вообще имеет глобальное значение: на нем, в частности, основано строение кистей рук человека, общее число фаланг пальцев каждой из которых тоже 14. Этот код имеет отношение и к созвездию Большой Медведицы, в которую входит наше Солнце, и в котором некогда была еще одна звезда, погубившая Фаэтон, планету, находившуюся между Марсом и Юпитером, после чего в Солнечной системе появился Плутон, и изменились характеристики остальных планет.
— Специальные устройства в виде пирамид нейтрализуют негативное электромагнитное излучение на человека от компьютера, телевизора, холодильника и других электробытовых приборов.
— В одной из книг описан случай, когда пирамида, установленная в салоне автомобиля, сокращала расход топлива и снижала содержание СО в отработанных газах.
— Выдержанные в пирамидах семена огородных культур имели лучшую всхожесть и урожайность. В публикациях даже рекомендовалось замачивать семена перед посевом в пирамидной воде.
— Было обнаружено, что пирамиды благотворно влияют на экологическую обстановку. Устраняют патогенные зоны в квартирах, офисах и дачных участках, создавая положительную ауру.
— Голландский исследователь Пауль Дикенс в своей книге приводит примеры о лечебных свойствах пирамид. Он заметил, что с их помощью можно снимать головные боли, боли в суставах, останавливать кровотечения при небольших порезах и то, что энергия пирамид стимулирует обмен веществ и укрепляет иммунитет.
— В некоторых современных публикациях отмечается, что лекарства, выдержанные в пирамиде, сокращают курс лечения, а перевязочный материал, насыщаясь положительной энергетикой, способствует заживлению ран.
— Косметические крема и мази улучшают свое действие.
— Напитки, в том числе и спиртные, улучшают свои вкусовые качества, а вода, содержащаяся в 40-% водке становится целебной. Правда для того, чтобы зарядить положительной энергией стандартную бутылку 0,5 литра, понадобится высокая пирамида.
— В одной газетной статье рассказывается о том, что если хранить ювелирные изделия под пирамидой они самоочищаются и приобретают особый блеск, а драгоценные и полудрагоценные камни аккумулируют положительную биоэнергетику и потом постепенно ее отдают.
— По утверждению американских ученых, продукты питания, например крупа, мука, соль, сахар, кофе, чай, побывав в пирамиде, улучшают свои вкусовые качества, а дешевые сигареты становятся похожими на своих благородных собратьев.
По утверждению большинства исследователей, все это является доказательством существования энергии пирамид.
За 5000 лет своего существования, пирамиды превратились в некий символ, олицетворяющий стремление человека достичь вершины знаний.
5. Подведение итогов урока.
Список используемой литературы.
2) Погорелов А. В. Геометрия 10-11, издательство “Просвещение”.
Теорема. Объём пирамиды равен произведению площади её oснования на треть её высоты.
Сначала докажем эту теорему для пирамиды треугольной, а затем и многоугольной.
1) На основании треугольной пирамиды SABC (черт. 102) построим такую призму SABCDE, у которой высота равна высоте пирамиды, а одно боковое ребро совпадает с ребром SB. Докажем, что объём пирамиды составляет третью часть объёма этой призмы. Отделим от призмы данную пирамиду. Тогда останется четырёхугольная пирамида SADEC (которая для ясности изображена отдельно). Проведём в ней секущую плоскость через вершину S и диагональ основания DC. Получившиеся от этого две треугольные пирамиды имеют общую вершину S и равные основания DEC и DAC, лежащие в одной плоскости; значит, согласно доказанной выше лемме пирамиды эти равновелики. Сравним одну из них, именно SDEC, с данной пирамидой. За основание пирамиды SDEC можно взять \(\Delta\)SDE; тогда вершина её будет в точке С и высота равна высоте данной пирамиды. Так как \(\Delta\)SDE = \(\Delta\)АВС, то согласно той же лемме пирамиды SDEC и SABC равновелики.
Призма ABCDES нами разбита на три равновеликие пирамиды: SABC, SDEC и SDAC. (Такому разбиению, очевидно, можно подвергнуть всякую треугольную призму. Это является одним из важных свойств треугольной призмы.) Таким образом, сумма объёмов трёх пирамид, равновеликих данной, составляет объём призмы; следовательно,
где Н есть высота пирамиды.
2) Через какую-нибудь вершину Е (черт. 103) основания многоугольной пирамиды SABCDE проведём диагонали ЕВ и ЕС.
Затем через ребро SE и каждую из этих диагоналей проведём секущие плоскости. Тогда многоугольная пирамида разобьётся на несколько треугольных, имеющих высоту, общую с данной пирамидой. Обозначив площади оснований треугольных пирамид через b1, b2, b3 и высоту через Н, будем иметь:
Следствие. Если V, В и Н означают числа, выражающие в соответствующих единицах объём, площадь основания и высоту какой угодно пирамиды, то
Требуется доказать, что
где √ Bb есть среднее геометрическое между B и b.
Обозначив, высоту дополнительной пирамиды буквой х, мы найдём, что
Для нахождения высоты х воспользуемся теоремой из раздела, согласно которой мы можем написать уравнение:
Для упрощения этого уравнения извлечём из обеих частей его арифметический квадратный корень:
Из этого уравнения (которое можно рассматривать как пропорцию) получим:
Подставив это выражение в формулу, выведенную нами для объёма V, найдём:
т. е. получим ту формулу, которую требовалось доказать.
, где
— объём параллелепипеда;
— скрещивающиеся рёбра, 
— расстояние между a1 и a2, 
— угол между a1 и a2;
СС1В1 и 
