какие выражения называют одночленами

Определение одночлена: сопутствующие понятия, примеры

Одночлены являются одним из основных видов выражений, изучаемых в рамках школьного курса алгебры. В этом материале мы расскажем, что это за выражения, определим их стандартный вид и покажем примеры, а также разберемся с сопутствующими понятиями, такими как степень одночлена и его коэффициент.

Что такое одночлен

В школьных учебниках обычно дается следующее определение этого понятия:

К одночленам относятся числа, переменные, а также их степени с натуральным показателем и разные виды произведений, составленные из них.

Что такое стандартный вид одночлена и как привести выражение к нему

Для удобства работы все одночлены сначала приводят к особому виду, называемому стандартным. Сформулируем конкретно, что же это значит.

Стандартным видом одночлена называют такой его вид, в которой он представляет из себя произведение числового множителя и натуральных степеней разных переменных. Числовой множитель, также называемый коэффициентом одночлена, обычно записывают первым с левой стороны.

Теперь приведем примеры одночленов, которые нужно привести к стандартному виду: 4 · a · a 2 · a 3 (здесь нужно объединить одинаковые переменные), 5 · x · ( − 1 ) · 3 · y 2 (тут нужно объединить слева числовые множители).

Привести к стандартному виду можно любой одночлен. Для этого нужно выполнить все необходимые тождественные преобразования.

Понятие степени одночлена

Очень важным является сопутствующее понятие степени одночлена. Запишем определение данного понятия.

Сам нуль принято считать одночленом с неопределенной степенью.

Приведем примеры степеней одночлена.

Одночлен, приведенный к стандартному виду, и исходный многочлен будут иметь одинаковую степень.

Понятие коэффициента одночлена

Если у нас есть одночлен, приведенный к стандартному виду, который включает в себя хотя бы одну переменную, то мы говорим о нем как о произведении с одним числовым множителем. Этот множитель называют числовым коэффициентом, или коэффициентом одночлена. Запишем определение.

Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, приведенного к стандартному виду.

Возьмем для примера коэффициенты различных одночленов.

Источник

Одночлены

Определения и примеры

Приведём ещё примеры одночленов:

Одночленом также является любое отдельное число, любая переменная или любая степень. Например, число 9 является одночленом, переменная x является одночленом, степень 5 2 является одночленом.

Приведение одночлена к стандартному виду

Рассмотрим следующий одночлен:

Этот одночлен выглядит не очень аккуратно. Чтобы сделать его проще, нужно привести его к так называемому стандартному виду.

Приведение одночлена к стандартному виду заключается в перемножении однотипных сомножителей, входящих в этот одночлен. То есть числа нужно перемножать с числами, переменные с переменными, степени со степенями. В результате этих действий получается упрощённый одночлен, который тождественно равен предыдущему.

Ещё один нюанс заключается в том, что в одночлене степени можно перемножать только в том случае, если они имеют одинаковые основания.

Итак, приведём одночлен 3a 2 5a 3 b 2 к стандартному виду. В этом одночлене содержатся числа 3 и 5. Перемножим их, получим число 15. Записываем его:

Мы привели одночлен 3a 2 5a 3 b 2 к стандартному виду. В результате получили одночлен 15a 5 b 2

Числовой сомножитель 15 называют коэффициентом одночлена. Приводя одночлен к стандартному виду, коэффициент нужно записывать в первую очередь, и только потом переменные и степени.

Если коэффициент в одночлене отсутствует, то говорят, что коэффициент равен единице. Так, коэффициентом одночлена abc является 1, поскольку abc это произведение единицы и abc

Степенью одночлена называют сумму показателей всех переменных входящих в этот одночлен.

Если одночлен не содержит переменных или степеней, а состоит из числа, то говорят, что степень такого одночлена равна нулю. Например, степень одночлена 11 равна нулю.

Не следует путать степень одночлена и степень числа. Степень числа это произведение из нескольких одинаковых множителей, тогда как степень одночлена это сумма показателей всех переменных входящих в этот одночлен. В одночлене 11 нет переменных, поэтому его степень равна нулю.

Пример 1. Привести одночлен 5xx3ya 2 к стандартному виду

Перемножим числа 5 и 3, получим 15. Это будет коэффициент одночлена:

Пример 2. Привести одночлен 2m 3 n × 0,4mn к стандартному виду

Перемножим числа, переменные и степени по отдельности.

Числа, переменные и степени при перемножении разрешается заключать в скобки. Делается это для удобства. Так, в данном примере перемножение чисел 2 и 0,4 можно заключить в скобки. Также в скобки можно заключить перемножение m 3 × m и n × n

Но желательно выполнять все элементарные действия в уме. Так, решение можно записать значительно короче:

Но чтобы в уме приводить одночлен к стандартному виду, тема умножения целых чисел и умножения степеней должна быть изучена на хорошем уровне.

Сложение и вычитание одночленов

Одночлены можно складывать и вычитать. Чтобы это было возможно, они должны иметь одинаковую буквенную часть. Коэффициенты могут быть любыми. Сложение и вычитание одночленов это по сути приведение подобных слагаемых, которое мы рассматривали при изучении буквенных выражений.

Чтобы сложить (вычесть) одночлены, нужно сложить (вычесть) их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Пример 1. Сложить одночлены 6a 2 b и 2a 2 b

Сложим коэффициенты 6 и 2, а буквенную часть 6a 2 b оставим без изменений

Пример 2. Вычесть из одночлена 5a 2 b 3 одночлен 2a 2 b 3

Можно заменить вычитание сложением, и сложить коэффициенты одночленов, оставив буквенную часть без изменения:

Либо сразу из коэффициента первого одночлена вычесть коэффициент второго одночлена, а буквенную часть оставить без изменения:

Умножение одночленов

Одночлены можно перемножать. Чтобы перемножить одночлены, нужно перемножить их числовые и буквенные части.

Пример 1. Перемножить одночлены 5x и 8y

Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. Для удобства перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:

Пример 2. Перемножить одночлены 5x 2 y 3 и 7x 3 y 2 c

Перемножим числовые и буквенные части по отдельности. В процессе умножения будем применять правило перемножения степеней с одинаковыми основаниями. Перемножаемые сомножители будем заключать в скобки:

Пример 3. Перемножить одночлены −5a 2 bc и 2a 2 b 4

Пример 4. Перемножить одночлены x 2 y 5 и (−6xy 2 )

Пример 5. Найти значение выражения

Деление одночленов

Одночлен можно разделить на другой одночлен. Для этого нужно коэффициент первого одночлена разделить на коэффициент второго одночлена, а буквенную часть первого одночлена разделить на буквенную часть второго одночлена. При этом используется правило деления степеней.

Например, разделим одночлен 8a 2 b 2 на одночлен 4ab. Запишем это деление в виде дроби:

Первый одночлен 8a 2 b 2 будем называть делимым, а второй 4ab — делителем. А одночлен, который получится в результате, назовём частным.

Не всегда можно первый одночлен разделить на второй одночлен. Например, если в делителе окажется переменная, которой нет в делимом, то говорят, что деление невозможно.

Но если в делимом содержится переменная, которая не содержится в делителе, то деление будет возможным. В этом случае переменная, которая отсутствовала в делителе, будет перенесена в частное без изменений.

Но в некоторых дробях, если невозможно выполнить деление, бывает возможным выполнить сокращение. Делается это с целью упростить выражение.

В числителе и знаменателе мы пришли к делению одночленов, которое можно выполнить:

Процесс деления обычно выполняется в уме, записывая над числителем и знаменателем получившийся результат:

Пример 2. Разделить одночлен 12a 2 b 3 c 3 на одночлен 4a 2 bc

Пример 3. Разделить одночлен x 2 y 3 z на одночлен xy 2

Дополнительно упомянем, что деление одночлена на одночлен также невозможно, если одна из степеней, входящая в делимое, имеет показатель меньший, чем показатель той же степени из делителя.

и такое частное при перемножении с делителем x 2 будет давать в результате делимое 2x

Но нас пока интересуют только те частные, которые являются так называемыми целыми выражениями. Целые выражения это те выражения, которые не являются дробями, в знаменателе которых содержится буквенное выражение. А частное целым выражением не является. Это дробное выражение, в знаменателе которого содержится буквенное выражение.

Возведение одночлена в степень

Одночлен можно возвести в степень. Для этого используют правило возведения степени в степень.

Пример 1. Возвести одночлен xy во вторую степень.

Чтобы возвести одночлен xy во вторую степень, нужно возвести во вторую степень каждый сомножитель этого одночлена

Пример 2. Возвести одночлен −5a 3 b во вторую степень.

Пример 3. Возвести одночлен − a 2 bc 3 в пятую степень.

В данном примере коэффициентом одночлена является −1. Этот коэффициент тоже нужно возвести в пятую степень:

Пример 4. Представить одночлен 4x 2 в виде одночлена, возведённого в квадрат.

Пример 5. Представить одночлен 121a 6 в виде одночлена, возведённого в квадрат.

Таким образом, если произведение 11a 3 возвести во вторую степень, то получится 121a 6

(11a 3 ) 2 = 11 2 × (a 3 ) 2 = 121a 6

Разложение одночлена на множители

Поскольку одночлен является произведением чисел, переменных и степеней, то он может быть разложен на множители, из которых состоит.

Пример 1. Разложить одночлен 3a 3 b 2 на множители

Данный одночлен можно разложить на множители 3, a, a, a, b, b

Либо степень b 2 можно не раскладывать на множители b и b

В каком виде представлять одночлен зависит от решаемой задачи. Главное, чтобы разложение было тождественно равно исходному одночлену.

Пример 2. Разложить одночлен 10a 2 b 3 c 4 на множители.

Источник

Одночлен. Подобные одночлены. Степень одночлена.

Одночленом является выражение, содержащее числа, натуральные степени переменных и их произведения, причем оно не должно содержать любых действий с этими числами и переменными.

Одночлен (или моном) — простое выражение в математике, которое рассматривается и используется в элементарной алгебре. Если точнее, произведение, которое состоит из числового множителя и 1-ной либо нескольких переменных, каждая из которых взята в положительной степени.

Или другими словами:

Стандартным видом одночлена является одночлен как произведение числового множителя, который стоит на 1-ом месте, и степеней разных переменных. Каждый одночлен возможно привести к стандартному виду методом перемножения всех переменных и чисел, которые входят в него.

Приведение одночлена к стандартному виду:

Произведение одночленов тоже является одночленом.

Одночлен в некоторой натуральной степени тоже оказывается одночленом.

Результаты таких действий (умножение одночленов и возведение одночлена в степень) обычно приводятся к стандартному виду.

Число 0 является нулевым одночленом.

Подобные одночлены.

2 одночлена, которые приведены к стандартному виду, являются подобными, когда они совпадают либо отличаются лишь числовым коэффициентом.

Сложение и вычитание подобных одночленов является приведением подобных слагаемых.

Одночлены, у которых произведения переменных одинаковы (порядок их может отличаться) называются подобными одночленами.

Подобными одночленами являются и ; и ; и ; 5 и −3; и .

Подобными одночленами не являются и .

Если у подобных одночленов коэффициенты равны, то они являются равными (одинаковыми) одночленами.

Подтвердить это можно, записав одночлены в стандартном виде:

8xy 3 ; xy 3 ; 8y 3 x; 2⋅4xyyy; 8x 3 y => 8xy 3 ; xy 3 ; 8xy 3 ; 8xy 3 ; 8x 3 y;

Если у подобных одночленов коэффициенты оказываются противоположными числами, то такие одночлены являются противоположными.

Умножение одночленов. Возведение одночленов в степень.

При умножении одночленов и возведении одночленов в степень пользуются правилом умножения степеней с одинаковым основанием и правилом возведения степени в степень. При этом получают одночлен, представляемый обычно в стандартном виде.

Для того, чтобы умножить одночлен на одночлен, необходимо умножить их коэффициенты и степени с равными основаниями.

Что бы возвести одночлена в степень, необходимо возвести его коэффициент в эту степень и умножить показатель степени всех букв на показатель степени, в которую возводится одночлен.

Для того, чтобы поделить одночлен на одночлен, необходимо поделить коэффициенты делимого на коэффициент делителя, к найденной части дописать множителями все буквы делимого с показателем, который равен разнице показателей этой буквы в делимом и делителе.

Складывая и вычитая многочлены используют правило раскрытия скобок.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, необходимо все члены многочлена умножить на этот одночлен и одночлены, которые получены, сложить.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, необходимо все члены 1-го многочлена домножить на все члены второго многочлена и члены, которые получены, сложить.

Чтобы разделить многочлен на одночлен, необходимо все члены многочлена разделить на этот одночлен и результаты, которые получены, сложить.

Источник

Одночлены

Часто при решении задач мы используем буквенные множители и числа вместе.

Из чего состоит одночлен

Числовой множитель, который есть в одночлене, принято называть коэффициентом одночлена. Буквенные множители иногда называют переменными.

Примеры одночленов и их коэффициентов

Приведение одночлена к стандартному виду

Одночлен, у которого единственный числовой множитель стоит на первом месте и буквенные множители в различных степенях не повторяются, называется одночленом стандартного вида. Буквенные множители следует располагать в алфавитном порядке.

Примеры одночленов нестандартного вида : 2acа, 4xy 2 · 3, x 4 y &middot (−7).

Не забывайте, что одночлен — это произведение числовых и буквенных множителей, поэтому внутри одночлена действуют все законы умножения, в том числе переместительный закон умножения.

Чтобы привести одночлен к стандартному виду нужно сделать следующее.

Что такое степень одночлена

Степень одночлена — это сумма всех степеней буквенных множителей.

Примеры степеней одночленов

Число «0» (ноль) называется нулевым одночленом. Степень нулевого одночлена не определена.

Но не путайте с одночленом нулевой степени! Одночлен нулевой степени — это любое число (например, 123; 0,5; −324 ).

Любое число можно записать как произведение числа на буквенный множитель в нулевой степени. Т.е. 123 = 123 · a 0 = 123 · 1 = 123 (одночлен нулевой степени).

Одночлен нулевой степени получил свое название, потому что любой буквенный множитель можно представить как 1 через нулевую степень.

Источник

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Одночлен; свойства одночленов.

• Числовые и буквенные множители.

Одночлен – алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел.

Множители одночлена – буквы и числа, входящие в состав одночлена.

Нулевой одночлен – одночлен, среди множителей которого есть число ноль.

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Наверное, вы слышали достаточно известную фразу: «знание – источник, который надо постоянно пополнять». Поэтому сегодня мы пополним свои знания об алгебраических выражениях ещё одним термином – одночлены.

Мы знаем, что алгебраические выражения бывают буквенные и числовые.

Например, слева находятся выражения буквенные, так как в них содержатся буквы, а справа – числовые выражения, т.к. в них нет букв.

Обратите внимание на алгебраические выражения 12 · х и 124.

В них нет таких знаков арифметического действия, как сложение, вычитание или деление. Такие выражения называют одночленами.

Итак, одночлен – алгебраическое выражение, являющееся произведением букв и чисел.

Буквы и числа называют множителями одночлена.

10 · х · с – одночлен,

где 10 – числовой множитель одночлена,

x; c – буквенные множители одночлена.

Множители одночлена, записанные с помощью цифр, называют числовыми множителями одночлена, а множители, обозначенные буквами, называют буквенными множителями. При этом стоит отметить, что знак умножения между числовыми и буквенными множителями или между буквенными множителями очень часто не пишут.

Стоит отметить, что одночлен может состоять и только из буквы или цифры.

0 – нулевой одночлен.

Сформулируем некоторые свойства одночленов.

1 свойство. Два одночлена считаются равными, если они отличаются друг от друга лишь порядком множителей.

2 свойство. Два одночлена считаются равными, если один из них получен из другого заменой некоторых его числовых множителей их произведением.

3 свойство. Одночлен считается равным нулю, если среди его множителей есть число ноль.

Пример: 2х · 0с = 0 – нулевой одночлен.

(-24)kx – ненулевой одночлен, т.к. среди его множителей нет нуля.

И, наконец, рассмотрим последнее свойство.

4 свойство. Два одночлена считаются равными, если один получен из другого путём опускания множителя один.

Итак, сегодня мы получили представление о новом понятии – одночлен.

Давайте зададимся вопросом, где мы можем встретить одночлены?

Посмотрите на номера домов. Что это, как не одночлены?

Или цифры, из которых можно составить любые числа, что это, как не одночлены?

Но внимательно всмотритесь в последний одночлен. Возможно, он вам где-нибудь встречался?

Итак, понятие «одночлен» широко используется не только в математике, но и в других науках.

Разбор заданий тренировочного модуля.

1) Может ли периметр треугольника, с разными сторонами: а, b, c, быть выражен в виде одночлена?

Решение: Для решения задания, нужно вспомнить формулу периметра. Периметр находится как сумма всех сторон многоугольника. По условию у нас есть три разных стороны: а, b, c. Следовательно, периметр треугольника – это выражение: а + b + c. А при записи одночлена использовать знак «+» нельзя. Следовательно, ответ – нет.

2) На заводе есть 3 цеха. В первом работают х человек, во втором в 2 раза больше, чем в первом, а в третьем в 1,5 раза больше чем во втором. Сколько человек работает в третьем цехе?Выберите правильное выражение (одночлен), которое характеризует ответ на поставленный вопрос.

Решение. Опишем условие задачи в виде следующей схемы:

По схеме найдём сначала количество рабочих во 2 цехе, это будет одночлен 2x.

Теперь остаётся найти количество рабочих в 3 цехе, это будет:

Источник