Изучение свойств функций и их графиков занимает значительное место как в школьной математике, так и в последующих курсах. Причем не только в курсах математического и функционального анализа, и даже не только в других разделах высшей математики, но и в большинстве узко профессиональных предметов. Например, в экономике – функции полезности, издержек, функции спроса, предложения и потребления. в радиотехнике – функции управления и функции отклика, в статистике – функции распределения. Чтобы облегчить дальнейшее изучение специальных функций, нужно научиться свободно оперировать графиками элементарных функций. Для этого после изучения следующей таблицы рекомендую пройти по ссылке «Преобразования графиков функций». и/или по ссылке Построение графиков, содержащих модуль аргумента или модуль функции, а также сумму или разность нескольких модулей.
С 17.04.21 до экзаменв просмотр по кнопке ОТКРЫТ.
В школьном курсе математики изучаются следующие элементарные функции.
Степенная
y = x 3
Кубическая парабола
Самый простой случай для целой нечетной степени. Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Движение графиков функций».
Степенная
y = x 1/2
График функции y = √x
Самый простой случай для дробной степени (x 1/2 = √x). Случаи с коэффициентами изучаются в разделе «Движение графиков функций».
Показательная
y = a x
График показательной функции
Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 0,5 x (a = 1/2 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log2x (a = 2 > 1).
Логарифмическая
y = logax
График логарифмической функции
Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = log0,5x (a = 1/2
На сервере youtube.com открыт канал Mathematichka, на котором размещаются видео, связанные с изучением графиков функций и экзаменационными задачами на эту тему. Подписывайтесь и пишите в комментариях свои вопросы и пожелания.
Пример такого видео.
Перейти на главную страницу.
Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.
Понятие функции — одно из ключевых в математике. О нём подробно рассказано в статье «Что такое функция».
И конечно, в задачах части 2 Профильного ЕГЭ по математике без них не обойтись. А если вы выбрали технический или экономический вуз — первая же лекция по матанализу будет посвящена именно элементарным функциями и их графикам.
Но это не всё. Математические функции, изучением которых мы занимаемся, — это не что-то такое выдуманное или существующее только в замкнутом пространстве учебника. Они являются отражением реальных взаимосвязей и процессов, происходящих в природе и обществе.
Существует всего пять типов элементарных функций:
2. Показательные Это функции вида y = a x
4. Тригонометрические В их формулах присутствуют синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы.
Элементарными они называются потому, что из них, как из элементов, получаются все остальные, встречающиеся в школьном курсе. Например, y = x 2 · e x — произведение квадратичной и показательной функций; y = sin(a x ) — сложная функция, то есть комбинация двух функций — показательной и тригонометрической.
Графики и свойства основных элементарных функций следует знать наизусть.
Показательная функция y = a x
a > 1
0 1
0 2 + 5? Об этом — статья «Преобразования графиков функций».
Обратите внимание: уравнения, которые вы решаете, обычно относятся к одному из этих пяти типов. Для каждого типа — свои способы решения. Это и понятно: они основаны на тех или иных свойствах функций.
Почему в уравнении 3 x = 3 5 мы можем «отбросить» основания и записать, что x = 5? Да потому что показательная функция y = 3 x возрастает и каждое значение принимает только один раз.
Почему уравнение имеет бесконечно много решений, которые записываются в виде серии: , где n — целое? Потому что функция y = sinx — периодическая, то есть каждое свое значение принимает бесконечно много раз.
Зная графики элементарных функций, вы уже не запутаетесь с ОДЗ уравнений и неравенств. Вы сможете решать сложные задачи графически — а это часто во много раз легче и быстрее, чем аналитически.
Есть еще и такие уравнения, где слева и справа стоят функции разных типов. Для их решения есть графический способ, а также специальные приемы, о которых рассказывается в статье «Метод оценки».
Графики функций являются одним из важнейших знаний, необходимых в учебе, наравне с таблицей умножения. Они являются фундаментом, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.
Таблица графиков функций.
Название функции
Формула функции
График функции
Название графика
Линейная (прямопропорциональная) функция.
Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. Т.е. функция оказывается обобщением прямой пропорциональности.
Функция Бесселя первого рода.
Большинство свойств квадратичной функции связаны с значением дискриминанта.
Квадратичная функция.
Самый простой случай для дробной степени (x 1/2 = √x).
Показательная функция.
Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 2 x (a = 2 > 1).
1″ longdesc=»График показательной функции а>1″ src=»https://www.calc.ru/imgs/articles3/16/87/964599587e5e40d85067.63997678.jpg» style=»height:154px; width:200px» title=»График показательной функции а>1″ />
График показательной функции а>1
Показательная функция.
Показательная функция определена для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции существенно зависят от значения параметра a. Здесь пример для y = 0,5 x (a = 1/2 x
График показательной функции 0
Логарифмическая функция.
График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0).
Логарифмическая функция.
Логарифмы определены для a > 0 и a ≠ 1. Графики функции сильно связаны со значением параметра a. Здесь пример для y = log2x (a = 2 > 1).
Основные элементарные функции: их свойства и графики
Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.
Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.
Выделяют следующие виды основных элементарных функций:
Постоянная функция
Свойства постоянных функций:
Корень n-й степени
Данная элементарная функция определяется формулой y = x n ( n – натуральное число больше единицы).
Рассмотрим две вариации функции.
Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.
Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число
Иные нечетные значения показателя корня функции y = x n дадут график аналогичного вида.
Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число
Степенная функция
Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.
Степенная функция при нечетном положительном показателе
Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный
Степенная функция при четном положительном показателе
Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:
Степенная функция при нечетном отрицательном показателе
Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:
Степенная функция при четном отрицательном показателе степени
Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:
Степенная функция при рациональном или иррациональном показателе (значение больше нуля и меньше единицы)
Иные значения показателя степени a (при условии 0 a 1 ) дадут аналогичный вид графика.
Свойства степенной функции при 0 a 1 :
Степенная функция при нецелом рациональном или иррациональном показателе степени (больше единицы)
Иные значения показателя степени а при условии a > 1 дадут похожий вид графика.
Свойства степенной функции при a > 1 :
Степенная функция при действительном показателе степени (больше минус единицы и меньше нуля)
Степенная функция при нецелом действительном показателе степени (меньше минус единицы)
Показательная функция
Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы ( 0 a 1 ) . Наглядным примером послужат графики функций при a = 1 2 (синий цвет кривой) и a = 5 6 (красный цвет кривой).
Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:
Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций y = 3 2 x (синий цвет кривой) и y = e x (красный цвет графика).
Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции.
Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:
Логарифмическая функция
График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а.
Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика.
Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:
Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: а > 1 . На чертеже ниже – графики логарифмических функций y = log 3 2 x и y = ln x (синий и красный цвета графиков соответственно).
Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика.
Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:
Тригонометрические функции, их свойства и графики
Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.
В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f ( x + T ) = f ( x ) ( T – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль.
График данной функции называется синусоида.
Свойства функции синус:
График данной функции называется косинусоида.
Свойства функции косинус:
График данной функции называется тангенсоида.
Свойства функции тангенс:
График данной функции называется котангенсоида.
Свойства функции котангенс:
Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики
Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.
, где n — целое? Потому что функция y = sinx — периодическая, то есть каждое свое значение принимает бесконечно много раз.
.
