какие геометрические тела имеют образующую
Геометрические тела.
Геометрическое тело — часть пространства, которая ограничена замкнутой поверхностью своей наружной
Геометрическое тело возможно выделить замкнутой поверхностью, т.е. его границей.
Еще геометрическим телом можно назвать компактное множество точек, и 2 точки из множества
возможно соединить отрезком, этот отрезок целиком проходит внутри границы тела, это указывает на то,
что геометрическое тело состоит из множества внутренних точек.
Наружная граница геометрического тела является его гранью, у тела может быть одна либо несколько
граней. Множество плоских граней определяет множество вершин и ребер геометрического тела.
Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения.
Тела вращения.
Тела вращения — это объёмные тела, которые возникают следствием вращения плоской геометрической
фигуры, которая ограничена кривой, вокруг оси. Эта ось лежит в той же плоскости.
Если вращать контуры фигур, образуется поверхность вращения (к примеру, сфера, которая
образовывается из окружности), а если вращать заполненные контуры – возникают тела (шар, который
Шар — образуется из полукруга, вращением вокруг диаметра разреза.
Цилиндр — образуется из прямоугольника, вращая его вокруг одной из
Площадью боковой поверхности цилиндра берут площадь его развертки:
вокруг одного из катетов.
Площадью боковой поверхности конуса берут площадь ее развертки:
Площадь полной поверхности конуса:
Тор (тороид) — образуется из окружности, вращая ее вокруг прямой, которая не
Многогранники.
Многогранник или полиэдр — зачастую замкнутая поверхность, состоящая из многоугольников. Ее,
бывает, зовут тело, которое ограничено этой поверхностью.
Многогранник – тело, у которого граница, это объединение ограниченного количества многоугольников.
Есть 5 видов правильных многогранников:
| Тетраэдр |  |
| Гексаэдр (куб) |  |
 | |
| Додекаэдр |  |
 |
Правильным многогранником является многогранник, с гранями из правильных равных многоугольников,
также, каждый двугранный угол имеет одинаковое значение.
Однако существуют другие многогранники – все многогранные углы равны, а грани – правильные, при этом
разноименные правильные многоугольники. Такие многогранники являются
равноугольно-полуправильными многогранниками.
усеченный тетраэдр, усеченный оксаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный куб, усеченный
додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр, усеченный икосододекаэдр,
ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, «плосконосый» (курносый) куб, «плосконосый»
получить правильные звездчатые многогранники.
Таких многогранников существует только 4, еще их зовут телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл
малый додекаэдр, и назвал его «колючий» либо «еж», и большой додекаэдр. Пуансо открыл другие 2
правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый
Тест по теме «Тела вращения».
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Тест по теме: «Тела вращения»
1. Какое тело вращения имеет 2 основания?
а) конус б) шар в) цилиндр
2. Какое тело вращения имеет в сечении треугольник?
а) конус б) шар в) цилиндр
3. Какое тело вращения не имеет образующей?
а) конус б) шар в) цилиндр.
4. Какая фигура является осевым сечением усеченного конуса?
а) круг б) треугольник в) трапеция.
5. Какая фигура является сечением шара?
а) прямоугольник б) круг в) ромб.
6. Какой элемент, не принадлежит цилиндру?
а) образующая б) апофема в) радиус
7. Найдите радиус конуса, если его образующая 13 дм, а высота 12 дм.
а) 25 дм б) 5 дм в) дм.
8. Найдите образующую усеченного конуса, если его радиусы 5 см и 10 см, а высота 4 см
а) см б) 19 см в) 9 см.
9. Найти высоту цилиндра, если диагональ его осевое сечение 15 м, а радиус 5 м
10. Найти площадь сечения шара, радиус которого 29 см, а плоскость сечения удалена от центра шара на 19 см
а) 551π см 2 б) см 2 в) 480π см 2
Тест по теме: «Тела вращения»
1. Какое тело вращения имеет 1 основание?
а) конус б) шар в) цилиндр
2. Какое тело вращения имеет в сечении прямоугольник?
а) конус б) шар в) цилиндр.
3. Какое тело вращения не имеет высоты?
а) конус б) шар в) цилиндр.
4. Какая фигура является осевым сечением шара?
а) круг б) треугольник в) трапеция.
5. Какую фигуру можно вращать вокруг своей стороны, чтобы получить конус?
а) равносторонний б) остроугольный в) прямоугольный
треугольник треугольник треугольник
6. Какой элемент, не принадлежит конусу?
а) высота б) ось в) медиана
7. Найти образующую конуса, если его радиус 4см, а высота 3см.
8. Найдите высоту усеченного конуса, если радиусы его оснований равны 5см и 8см, а образующая 11см.
9. Найти диагональ осевого сечения цилиндра, если его радиус 6 дм, а высота 8 дм
а) 10 дм б) дм в) 14дм
10. Найти площадь сечения шара, радиус которого 39 см, а плоскость сечения удалена от центра шара на 11см
а) 1400π см 2 б) см 2 в) 140π см 2
ОТВЕТЫ к тесту «Тела вращения»
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Номер материала: ДБ-830123
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Минпросвещения намерено включить проверку иллюстраций в критерии экспертизы учебников
Время чтения: 1 минута
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения планирует прекратить прием в колледжи по 43 профессиям
Время чтения: 1 минута
В Москве стартует онлайн-чемпионат для школьников Soft Skills — 2035
Время чтения: 1 минута
Минобрнауки разрешило вузам перейти на дистанционное обучение
Время чтения: 1 минута
Школьников не планируют переводить на удаленку после каникул
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Справочник по теме «Геометрические тела»
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Выполнил: Давыдов Антон, ученик 11-го класса
Шар — это объемная геометрическая фигура,
ограниченная поверхностью, все точки которой
находятся на одинаковом расстоянии от центра;
образуется из полукруга, вращением
вокруг диаметра разреза.
Площадь поверхности: S = 4πR2
Объем шара: V = 4/3 πR 3
ограниченное цилиндрической поверхностью
и двумя параллельными плоскостями, 
пересекающими её; образуется из
прямоугольника, вращая его вокруг одной из
Площадь боковой поверхности:
Площадь основания цилиндра:
Площадь поверхности цилиндра:
S = Sбок.пов + 2Sосн = 2πR h + 2πR^2
Объем цилиндра: V = Sосн ⋅ H = πR^2H
всех лучей, исходящих из одной точки 
(вершины конуса) и проходящих через
плоскую поверхность; образуется из
прямоугольного треугольника, при
вращении его вокруг одного из катетов.
Образующую конуса: L = √ H ^2 + R^2
Площадь боковой поверхности: Sбок.пов = πRL
Площадь основания конуса: Sосн = πR^2
Объем конуса: V = 1/3πR^2h
получаемая вращением образующей
окружности вокруг оси, лежащей в плоскости
этой окружности и не пересекающей её.
r — радиус образующей окружности тора;
R — радиус вращения образующей окружности.
гранями которого являются четыре
Основные формулы для правильного тетраэдра:
Куб – это прямоугольный параллелепипед, 
все стороны (ребра) которого равны.
Основные формулы для куба:
Октаэдр — многогранник с восемью гранями.
Основные формулы для октаэдра:
Додекаэдр – это объемная геометрическая 
фигура, которая имеет 12 граней.
Основные формулы для додекаэдра:
Икосаэдр — правильный выпуклый 
Основные формулы для икосаэдра:
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
В справочнике отражены все геометрические формулы геометрических тел, их объёмы, площади полной и боковой поверхности. Работа содержит рисунок геометрического тела и краткую информацию о нем.
Справочник является продуктом проекта «Геометрические тела» и очень полезен для учащихся в подготовке к ГИА.
Номер материала: ДБ-596378
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
В Хабаровске утвердили дополнительные школьные каникулы
Время чтения: 1 минута
Школьников не планируют переводить на удаленку после каникул
Время чтения: 1 минута
Минобразования Кузбасса рекомендовало техникумам и школам уйти на каникулы до 7 ноября
Время чтения: 1 минута
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения планирует прекратить прием в колледжи по 43 профессиям
Время чтения: 1 минута
Минобрнауки работает над изменением подходов к защите диплома
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Геометрия. 11 класс
Тела вращения. Цилиндр
Тела вращения. Цилиндр
Необходимо запомнить
На этом уроке нами была раскрыта тема «Тела вращения. Цилиндр».
Цилиндр это тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами. Или тело, полученное в результате вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон.
Круги называются основаниями цилиндра; отрезок, перпендикулярный основаниям и соединяющий точки окружностей верхнего и нижнего оснований, называется образующей цилиндра.
Ось вращения называется осью цилиндра.
Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра.
Развертка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник.
Площадь боковой поверхности можно найти по формуле:
Площадь полной поверхности – это сумма площади боковой поверхности и двух площадей оснований.
Тела вращения. Цилиндр
Тела вращения. Цилиндр
Вообще, произвольный цилиндр – это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя плоскостями (основаниями цилиндра).
Цилиндрическая поверхность – поверхность, получаемая при движении прямой (образующей L) параллельно самой себе, вдоль плоской кривой направляющей.
Основания цилиндра – плоские фигуры, образованные пересечением цилиндрической поверхности с двумя плоскостями.
Форму таких цилиндров достаточно часто имеют детали различных механизмов.
Цилиндрическая поверхность может быть и незамкнутой:
Призма – это тоже цилиндр (основание – многоугольник).
Тела вращения
Так называемые тела вращения занимали умы учёных ещё в далёкие времена.
Архимед установил, что объем шара равен удвоенному объему конуса с радиусом основания, равным радиусу шара, и высотой, равной диаметру шара, или двум третьим объема цилиндра с таким же радиусом основания и такою же высотой. Эти три тела с данным соотношением называют «телами Архимеда». Он завещал высечь на надгробном камне чертеж к теореме. Римский военачальник Марцелл, поклонник таланта Архимеда, исполнил желание ученого, воздвигнув в его честь гробницу, на которой был изображено:
В работах другого великого учёного Леонарда Эйлера тела вращения занимают далеко не последнее место.
Слово «цилиндр» произошло от греческого слова «кюлиндрос», обозначающего «валик», «каток». В 19 веке в моде были твёрдые шляпы с небольшими полями, которые так и назывались цилиндрами из-за большого сходства с геометрической фигурой цилиндром.
Геометрические тела.
Геометрическое тело — часть пространства, которая ограничена замкнутой поверхностью своей наружной
Геометрическое тело возможно выделить замкнутой поверхностью, т.е. его границей.
Еще геометрическим телом можно назвать компактное множество точек, и 2 точки из множества
возможно соединить отрезком, этот отрезок целиком проходит внутри границы тела, это указывает на то,
что геометрическое тело состоит из множества внутренних точек.
Наружная граница геометрического тела является его гранью, у тела может быть одна либо несколько
граней. Множество плоских граней определяет множество вершин и ребер геометрического тела.
Все геометрические тела делятся на многогранники и тела вращения.
Тела вращения.
Тела вращения — это объёмные тела, которые возникают следствием вращения плоской геометрической
фигуры, которая ограничена кривой, вокруг оси. Эта ось лежит в той же плоскости.
Если вращать контуры фигур, образуется поверхность вращения (к примеру, сфера, которая
образовывается из окружности), а если вращать заполненные контуры – возникают тела (шар, который
Шар — образуется из полукруга, вращением вокруг диаметра разреза.
Цилиндр — образуется из прямоугольника, вращая его вокруг одной из
Площадью боковой поверхности цилиндра берут площадь его развертки:
вокруг одного из катетов.
Площадью боковой поверхности конуса берут площадь ее развертки:
Площадь полной поверхности конуса:
Тор (тороид) — образуется из окружности, вращая ее вокруг прямой, которая не
Многогранники.
Многогранник или полиэдр — зачастую замкнутая поверхность, состоящая из многоугольников. Ее,
бывает, зовут тело, которое ограничено этой поверхностью.
Многогранник – тело, у которого граница, это объединение ограниченного количества многоугольников.
Есть 5 видов правильных многогранников:
| Тетраэдр | |
| Гексаэдр (куб) | |
| | |
| Додекаэдр | |
| |
Правильным многогранником является многогранник, с гранями из правильных равных многоугольников,
также, каждый двугранный угол имеет одинаковое значение.
Однако существуют другие многогранники – все многогранные углы равны, а грани – правильные, при этом
разноименные правильные многоугольники. Такие многогранники являются
равноугольно-полуправильными многогранниками.
усеченный тетраэдр, усеченный оксаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный куб, усеченный
додекаэдр, кубооктаэдр, икосододекаэдр, усеченный кубооктаэдр, усеченный икосододекаэдр,
ромбокубооктаэдр, ромбоикосододекаэдр, «плосконосый» (курносый) куб, «плосконосый»
получить правильные звездчатые многогранники.
Таких многогранников существует только 4, еще их зовут телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл
малый додекаэдр, и назвал его «колючий» либо «еж», и большой додекаэдр. Пуансо открыл другие 2
правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый