какие две точки называются симметричными относительно данной прямой 8 класс

Геометрия. 8 класс

Конспект
Рассмотрим прямую a и точку, не принадлежащую ей.

Точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой а, если:
— эта прямая проходит через середину отрезка АА₁
— а ⊥ АА₁.
Прямая a называется осью симметрии. Если точка принадлежит прямой а, то она симметрична сама себе.
Составим алгоритм построения точки, симметричной данной.
Алгоритм построения
• Провести прямую b перпендикулярную прямой а
• Отложить от точки О на прямой b расстояние, равное ОА
• Получить точку А₁

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры.

(Цвет линий и букв черный)
Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии. Неразвернутый угол имеет одну ось симметрии – прямую, содержащую биссектрису угла.

Подумайте, какие из данных фигур имеют ось симметрии и сколько?
Рассмотрим симметрию относительно точки.
Симметрия относительно точки
Две точки А и А₁ называются симметричными относительно точки О, если О – середина отрезка АА₁.

Составим алгоритм построения точки, симметричной данной относительно точки О.
Алгоритм построения
• Соединить точку А и точку О прямой и продолжить прямую за точку О
• От точки О отложить расстояние равное ОА
• Получить точку А₁

Фигура называется симметричной относительно центра, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре.

Центр симметрии имеет круг, квадрат.

Подумайте, какие из данных фигур имеют центр симметрии?

Слово «симметрия» греческое (συμμετρία), оно означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей», неизменность при каких-либо преобразованиях.
В словаре С.И. Ожегова симметрия – это соразмерность, пропорциональность частей чего-нибудь, расположенных по обе стороны от середины, центра.
С симметрией мы часто встречаемся в природе, архитектуре, искусстве, технике и быту. Симметрия в одежде – это символ строгости. Симметрия в архитектуре – это признак красоты и надежности. Некоторые люди утверждают, что симметрия – это совершенство.
Симметрией обладают некоторые буквы латинского и русского алфавита. Например, буква М обладает осевой симметрией, а буква Х – центральной симметрией.
Многие дорожные знаки обладают осевой или центральной симметрией. Гуляя по городу, приглядитесь к знакам. Найдите такие, которые имеют несколько осей симметрии и такие, которые не имеют осей симметрии.

Есть ось симметрии, центра симметрии нет Есть центр симметрии и 4 оси симметрии
Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2017.

Источник

Методическая разработка «Урок геометрии в 8 классе «Виды симметрии»

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

2. Понятие симметрии и ее виды

3. Осевая симметрия

3.2. План построения

4. Центральная симметрия

4.2. План построения

5.1. Обобщающая таблица

5.2. Применение симметрии в различных областях

6. Домашнее задание

· Дать определение симметрии, познакомить с основными ее видами, научить строить симметричные фигуры относительно центра и оси.

· Дать представление о симметрии в русском языке, литературе, химии, физике, биологии.

· Показать возможности использования понятия «симметрия» при решении задач.

· Активизировать самостоятельную деятельность

· Развивать познавательную активность

· Учить обобщать и систематизировать полученную информацию

· Прививать культуру общения.

компьютер
мультимедийная приставка
видеоприставка
экран

2. Основные понятия симметрии и ее виды

Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до н. э. Слово “симметрия” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”. Его широко используют все без исключения направления современной науки. Об этой закономерности задумывались многие великие люди. Например, Л. Н. Толстой говорил: “Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано?”. Действительно симметричность приятна глазу. Кто не любовался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, животными; или творениями человека: зданиями, техникой, – всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии. Герман Вейль сказал: “Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”. Герман Вейль – это немецкий математик. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким образом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века. Оно достаточно сложное. Мы же обратимся и еще раз вспомним те определения, которые даны нам в учебнике.

3. Осевая симметрия.

3.1 Основные определения

Определение. Две точки А и А₁ называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА₁ и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Определение. Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией.

3.2 План построения

И так, для построения симметричной фигуры относительно прямой от каждой точки проводим перпендикуляр к данной прямой и продлеваем его на такое же расстояние, отмечаем полученную точку. Так поступаем с каждой точкой, получаем симметричные вершины новой фигуры. Затем последовательно их соединяем и получаем симметричную фигуру данной относительной оси.

3.3 Примеры фигур, обладающих осевой симметрией.

Примем без доказательства, что при симметрии прямые переходят в прямые, причем сохраняются расстояния и углы.

4. Центральная симметрия

4.1 Основные определения

Определение. Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

4.2 План построения

Построение треугольника симметричного данному относительно центра О.

Построение симметричных точек относительно центра.

На рисунке точки М и М₁, N и N₁ симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.

Вообще фигуры, симметричные относительно некоторой точ ки, равны.

Приведём примеры фигур, обладающие центральной симметрией. Простейшими фигурами, обладающими центральной симметрией, является окружность и параллелограмм.

Точка О называется центром симметрии фигуры. В подобных случаях фигура обладает центральной симметрией. Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма- точка пересечения его диагоналей.

На рисунках показан угол симметричный относительно вершины, отрезок симметричный другому отрезку относительно центра А и четырехугольник симметричный относительно своей вершины М.

Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

Обобщим полученные знания. Сегодня на уроке мы познакомились с двумя основными видами симметрии: центральная и осевая. Посмотрим на экран и систематизируем полученные знания.

5.1 Обобщающая таблица

Все точки фигуры должны быть симметричны относительно какой-нибудь прямой.

Все точки фигуры должны симметричны относительно точки, выбранной в качестве центра симметрии.

1. 1. Симметричные точки лежат на перпендикулярах к прямой.

2. 2. Расстояние от точки до прямой равно расстоянию от прямой до симметричной точки.

3. 3. Прямые переходят в прямые, углы в равные углы.

4. 4. Сохраняются размеры и формы фигур.

5. 1. Симметричные точки лежат на прямой, проходящей через центр и данную точку фигуры.

6. 2. Расстояние от точки до прямой равно расстоянию от прямой до симметричной точки.

3. Сохраняются размеры и формы фигур.

5.2 Применение симметрии

С симметрией мы часто встречаемся на всех уроках и в окружающей жизни. Рассмотрим некоторые примеры.

На уроках алгебры мы изучили графики функций y = x и y = x

На рисунках представлены различные картинки, изображенные с помощью ветвей парабол.

(б) ромбический додекаэдр, (в) гексагональной октаэдр.

Печатные буквы русского алфавита тоже обладают различными видами симметрий.

А Д Л М П Т Ф Ш – вертикальная ось

Б Г И Й Р У Ц Ч Щ Я – ни какой оси

Радар шалаш Алла Анна

Могут быть палиндромическими и предложения.

Посмотрите на четверостишие А.С.Пушкина «Медный всадник». Если провести линию после второй строчки мы можем заметить элементы осевой симметрии

А роза упала на лапу Азора.

Я иду с мечем судия. ( Державин)

«Аргентина манит негра»,

«Ценит негра аргентинец»,

«Леша на полке клопа нашел».

В гранит оделася Не ва ;

Мосты повисли над вод ами;

Темно-зелеными сад ами

Ее покрылись остро ва …

рис1.

Обратите внимание на побеги листорасположения – это тоже своеобразный вид спирали – винтовая. Еще Гёте, который был не только великим поэтом, но и естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов, проявлением самой сокровенной сущности жизни. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов. Очевидно, что в этом проявляется наследственность организации растений, а ее корни следует искать на клеточном и молекулярном уровнях.

Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность.

Посмотрите на сосновую шишку. Чешуйки на ее поверхности расположены строго закономерно — по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21.

Различные виды симметрии физических явлений: симметрия электрического и магнитного полей (рис. 1)

Во взаимно перпендикулярных плоскостях симметрично распространение электромагнитных волн (рис. 2)

В произведениях искусства часто можно наблюдать зеркальную симметрию. Зеркальная» симметрия широко встречается в произведениях искусства примитивных цивилизаций и в древней живописи. Средневековые религиозные картины также характеризуются этим видом симметрии.

На современный вкус композиция такой картины скучна, поскольку симметрия слишком очевидна.

Молекула воды имеет плоскость симметрии (прямая вертикальная линия). : Исключительно важную роль в мире живой природы играют молекулы ДНК (дезоксирибонуклеиновая кислота) (рисунок 8). Это двуцепочечный высокомолекулярный полимер, мономером которого являются нуклеотиды. Молекулы ДНК имеют структуру двойной спирали, построенной по принципу комплементарности (рис. 9).

Издавна человек использовал симметрию в архитектуре. Особенно блистательно использовали симметрию в архитектурных сооружениях древние зодчие. Причем древнегреческие архитекторы были убеждены, что в своих произведениях они руководствуются законами, которые управляют природой. Выбирая симметричные формы, художник тем самым выражал свое понимание природной гармонии как устойчивости и равновесия.

В городе Осло, столице Норвегии, есть выразительный ансамбль природы и художественных произведений. Это Фрогнер – парк – комплекс садово-парковой скульптуры, который создавался в течение 40 лет.

Дом Пашкова Лувр ( Париж)

Сегодня на уроках мы познакомились с понятием «симметрия», ее основными видами, научились строить симметричные фигуры, убедились, что симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать.

Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле – как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство».

6. Домашнее задание

Дается по вариантам задание домой на листочках, а также задание : провести свою исследовательскую работу по симметрии в области одного предмета.

3. Какие прямые при центральной симметрии переходят сами в себя?

4. Какая фигура симметрична окружности? Почему?

5. Нарисуйте фигуры симметричные фигурам, изображенным на рисунке 1.

7. Какие буквы русского алфавита имеют центр симметрии?

А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, Й, К, Л, М, Н, О, П, Р, С, Т, У, Ф, Х, Ц, Ч, Ш, Щ, Ъ, Ы, Ь, Э, Ю, Я.

8. Какие буквы латинского алфавита имеют центр симметрии?

A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z.

3. Какие прямые при осевой симметрии переходят сами в себя?

4. Какая фигура симметрична окружности? Почему?

5. Нарисуйте фигуры симметричные фигурам, изображенным на рис. 1.

6. Восстановите фигуру, зная ее оси симметрии (рис. 2).

7. Какие буквы русского алфавита имеют оси симметрии?

А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, Й, К, Л, М, Н, О, П, Р, С, Т, У, Ф, Х, Ц, Ч, Ш, Щ, Ъ, Ы, Ь, Э, Ю, Я.

8. Какие буквы латинского алфавита имеют оси симметрии?

A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z.

Защита исследовательских работ учащихся проведена на очередном уроке.

Источник

Математика

Урок 5: Осевая и центральная симметрия

Осевая и центральная симметрия.

«Симметрия» – слово греческого происхождения. Оно означает соразмерность, наличие определенного порядка, закономерности в расположении частей. В математике рассматриваются различные виды симметрии: осевая и центральная.

Герман Вейль – немецкий математик сформулировал определение симметрии сравнительно недавно, в начале ХХ века.

Две точки, А и А₁, называются симметричными относительно точки О, если точка О является серединой отрезка АА₁. Точка О считается симметричной самой себе.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре.

Примером фигур, обладающих центром симметрии, являются окружность и параллелограмм.

Чтобы построить фигуру, симметричную относительно точки, необходимо спроецировать каждую точку фигуры относительно точки.

Две точки, А и А₁, называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА₁ и перпендикулярна ему.

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая a называется осью симметрии.

Говорят, что фигура обладает осевой симметрией.

Ось симметрии имеют плоские и пространственные фигуры.

Некоторые из них имеют не одну ось симметрии.

Симметрию разных фигур можно увидеть в окружающем нас мире: в природе и архитектуре.

Источник

Конспект урока по геометрии в 8 классе по теме «Осевая и центральная симметрия».

научить строить фигуры, симметричные относительно прямой и относительно точки.

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по геометрии в 8 классе по теме «Осевая и центральная симметрия».»

«Осевая и центральная симметрия».

Тип урока: урок изучения нового материала.

Образовательные: научить строить фигуры, симметричные относительно прямой и относительно точки.

Воспитательные: воспитывать самостоятельность, трудолюбие, взаимопомощь, взаимоуважение, активность, мобильность, умение организовывать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками, умение работать в паре.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация, учебник.

Формы работы на уроке: фронтальная, индивидуальная, коллективная.

Проверка домашнего задания.

Каждая группа, работая с энциклопедиями и справочниками, пользуясь возможностями интернета должна была найти ответы на один из поставленных вопросов:

1. Что называется симметрией, и когда это понятие возникло?

2. Существует ли симметрия в окружающем нас мире?

Учащиеся подготовили презентации, отвечают на поставленные вопросы.

Изучение новой темы.

1. Работа с учебником.

— Прочитать п. 48 учебника на странице 110-111, ответить на вопросы:

1. Какие две точки называются симметричными относительно прямой?

2. Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?

3. Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?

4. Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?

2. Практическая работа.

Учитель объясняет, как строить фигуру, симметричную относительно прямой и относительно точки (используем проектор).

Закрепление полученных знаний.

Ответ: А) две; б) бесконечно много; в) одну.

Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е, О, F?

Имеют ли центр симметрии: а) отрезок, б) луч, в) пара пересекающихся прямых, г) квадрат?

Ответ: а)да; б) нет; в) да; г) да.

Какие из следующих букв имеют центр симметрии: А, М, О, Х, К?

Самостоятельная практическая работа (в рабочих тетрадях и на доске с комментированием)

Даны две точки А и В, симметричные относительно некоторой прямой, и точка М. Постройте точку, симметричную точке М относительно той же прямой.

Даны точки А, В и М. Постройте точку, симметричную точке М относительно середины отрезка АВ.

1. Какие две точки называются симметричными относительно прямой?

2. Какая фигура называется симметричной относительно данной прямой?

3. Какие две точки называются симметричными относительно данной точки?

4. Какая фигура называется симметричной относительно данной точки?

Каждый из обучающихся оценивает сам свою работу, отвечая на следующие вопросы:
• Теперь я точно знаю …
• Я понял …
• Я научился …
• Для меня было сложным…
• Мне показалось легко…
Урок окончен. Спасибо за работу

Источник