какие две прямые плоскости называются пересекающимися параллельными

§ 4. Взаимное расположение прямых в пространстве

1. Сформулируйте утверждение о прямых, проходящих через данную точку параллельно данной прямой.

На плоскости через данную точку можно провести единственную прямую, параллельную данной.

2. Какие две прямые пространства называются параллельными; пересекающимися; скрещивающимися?

Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Пересекающимися называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку.

Скрещивающимися называются две прямые, которые не лежат в одной плоскости.

3. Сформулируйте утверждение о параллельных прямых, из которых одна пересекает данную плоскость.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

4. Сформулируйте утверждение о прямых, параллельных некоторой прямой.

Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны и друг другу.

5. Сформулируйте свойство противоположных граней прямоугольного параллелепипеда; диагоналей прямоугольного параллелепипеда.

У параллелепипеда противоположные грани равны, а все его диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

6. Сформулируйте признак скрещивающихся прямых.

Если из двух прямых одна принадлежит некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то такие прямые являются скрещивающимися.

7. Какой угол называют углом между пересекающимися прямыми; скрещивающимися прямыми; параллельными прямыми?

Углом между пересекающимися прямыми называют величину одного из четырёх образовавшихся при пересечении углов, который не больше 90°.

Углом между скрещивающимися прямыми называют угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.

Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

8. Как построить угол между скрещивающимися прямыми?

Для этого нужно выбрать произвольно точку A пространства и через неё провести прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым.

9. Какие прямые называют перпендикулярными?

Перпендикулярными называют прямые, угол между которыми равен 90°.

10. Точки M, N, P — соответственно середины рёбер HE, HF, HG треугольной пирамиды EFGH, а точка K лежит на отрезке FN. Определите взаимное расположение прямых:

а) PK и FG — прямые пересекающиеся, т.к. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

б) MP и EG — прямые параллельны, т.к. не имеют общих точек;

в) NH и EF — прямые пересекающиеся, т.к. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку.

11. Установите, пересекаются ли прямые, на которых лежат основания двух треугольников BAC и DFE, имеющих общую среднюю линию.

12. Определите взаимное расположение линии реки и линии моста.

Расположение линии реки и линии моста параллельное.

13. Используя рисунок 148, на котором дан куб LKMNL1K1M1N1, назовите скрещивающиеся прямые.

14. В треугольной пирамиде EFGH точки M, N, P — середины рёбер HE, HF, HG соответственно, а точка K лежит на отрезке FN. Определите взаимное расположение прямых:

а) KP и MN — прямые скрещивающиеся, т.к. одна из прямых не лежит в одной плоскости с первой, но пересекает её;

б) MN и EG — прямые также скрещивающиеся, т.к. одна из прямых не лежит в одной плоскости с первой, но пересекает её;

в) MH и FG — прямые также скрещивающиеся, т.к. одна из прямых не лежит в одной плоскости с первой, но пересекает её.

Источник

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Стереометрия:

Контакты

Содержание

Параллельность прямых и плоскостей

Прямые

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Прямая и плоскость

Три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости:

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельно данной плоскости. См.Рис.1.

Свойство прямой, параллельной плоскости:

Если в одной из пересекающихся плоскостей лежит прямая, параллельная другой плоскости, то она параллельна линии пересечения плоскостей. См.Рис.2.

Плоскости

Параллельные плоскости – плоскости, не имеющие общих точек.

Признаки параллельности плоскостей:

Свойства параллельных плоскостей:

Источник

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №6. Параллельность плоскостей

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии 10 Москва «Просвещение» 2013 год. С. 1-4.

Зив Б. Г. Геометрия 10 класс Дидактические материалы Москва «Просвещение» 2013 год. С.4, 14, 24

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Как известно из аксиом стереометрии, если плоскости имеют одну общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. Значит две плоскости или пересекаются, или не пересекаются.

Определение. Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными.

Параллельные плоскости α и β обозначаются α∥β.

Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Допустим, что плоскости α и β не параллельны, то есть они пересекаются по некоторой прямой c.

Прямая a₁ параллельна прямой b₁, значит она параллельна и самой плоскости β.

Прямая a₂ параллельна прямой b₂, значит она параллельна и самой плоскости β (признак параллельности прямой и плоскости).

Прямая c принадлежит плоскости α, значит хотя бы одна из прямых a₁ или a₂ пересекает прямую c, то есть имеет с ней общую точку. Но прямая c также принадлежит и плоскости β, значит, пересекая прямую c, прямая a₁ или a₂ пересекает плоскость β, чего быть не может, так как прямые a₁ и a₂ параллельны плоскости β.

Из этого следует, что плоскости α и β не пересекаются, то есть они параллельны.

Свойства параллельных плоскостей.

Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.

Плоскость α пересекается с плоскостью γ по прямой a.

Плоскость β пересекается с плоскостью γ по прямой b.

Линии пересечения a и b лежат в одной плоскости γ и потому могут быть либо пересекающимися, либо параллельными прямыми. Но, принадлежа двум параллельным плоскостям, они не могут иметь общих точек. Следовательно, они параллельны.

Теорема 2. Отрезки параллельных прямых, заключенных между двумя параллельными плоскостями, равны.

Проведённая плоскость пересекается с плоскостью α по прямой AB, а с плоскостью β по прямой CD.

По предыдущей теореме прямые AB и CD параллельны. Четырехугольник ABCD есть параллелограмм (у него противоположные стороны параллельны). А раз это параллелограмм, то противоположные стороны у него равны, то есть BC=AD.

Теорема 3. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

Пусть α||β, a пересекает α в точке А.

Выберем в плоскости любую точку C. Через эту точку и прямую a проведём плоскость.

Так как плоскость имеет с плоскостями α и β общие точки A и C соответственно, то она пересекает эти плоскости по некоторым прямым b и c, которые проходят соответственно через точки A и C. По предыдущей теореме прямые b и c параллельны. Тогда в плоскости прямая a пересекает (в точке A) прямую b, которая параллельна прямой c. Значит, прямая a пересекает и прямую c в некоторой точке B. Так как прямая c лежит в плоскости, то точка B является точкой пересечения прямой a и плоскости. Теорема доказана.

Теорема 4. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.

Пусть α||β, α и γ пересекаются.

Докажем, что плоскости β и γ пересекаются.

Проведём в плоскости γ прямую a, пересекающую плоскость α в некоторой точке B. Тогда по теореме 3 прямая a пересекает и плоскость β в некоторой точке A. Следовательно, плоскости β и γ имеют общую точку A, т. е. пересекаются. Теорема доказана.

Теорема 5. Через точку, не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Пусть нам даны плоскость α и точка М, ей не принадлежащая.

Докажем, что существует плоскость β, которой принадлежит точка М, параллельная плоскости α.

В данной плоскости α проведём две произвольные пересекающиеся прямые a и b. Через точку M проведём прямые a₁ и b₁, параллельные соответственно a и b. Плоскость, проходящую через пересекающиеся прямые a₁ и b₁, обозначим β. На основании признака параллельности плоскостей плоскость β параллельна плоскости α.

Докажем методом от противного, что β — единственная плоскость, удовлетворяющая условию теоремы.

Допустим, что через точку M проходит другая плоскость, например β₁, параллельная α.

Так как β₁ пересекает плоскость β (они имеют общую точку M), то по теореме 4 плоскость β₁ пересекает и плоскость α (β ‖ α). Мы пришли к противоречию. Таким образом, предположение о том, что через точку M можно провести плоскость, отличную от плоскости β и параллельную плоскости α, неверно. Значит, плоскость β — единственна. Теорема доказана.

Рассмотрим несколько примеров на применение данных свойств.

Даны две пересекающиеся прямые a и b точка А, не лежащая в плоскости этих прямых. Докажите, что через точку А проходит плоскость, параллельная прямым a и b, и притом только одна.

Прямые a и b пересекаются по условию, следовательно, по следствию из аксиомы А₁, эти прямые единственным образом определяют плоскость α.

Известно, что через точку А, не принадлежащую плоскости α, проходит единственная плоскость, параллельная α, т.е. параллельная прямым a и b (по теореме 5) .

Плоскости α и β параллельны, прямая m лежит в плоскости α. Докажите, что прямая m параллельна плоскости β.

Предположим, что прямая m пересекает плоскость β в точке М. Тогда точка М принадлежит плоскости α (т.к. прямая m лежит в плоскости α) и М принадлежит плоскости β, значит, α и β пересекаются, но они параллельны по условию. Очевидно, m не пересекает плоскость α, т.е. параллельна ей.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Три отрезка А₁А₂, В₁В₂ и С₁С₂, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны.

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые А₁А₂ и В₁В₂

(она существует и единственная, т.к. прямые пересекаются).

В этой плоскости лежит четырехугольник А₁В₁А₂В₂, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом (признак параллелограмма), значит, А₁В₁ и А₂В₂ параллельны.

Аналогично доказывается параллельность В₁С₁ и В₂С₂. Из вышеперечисленного следует, что плоскости А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны по признаку параллельности плоскостей.

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые А₁А₂ и В₁В₂

(она существует и единственная, т.к. прямые пересекаются).

В этой плоскости лежит четырехугольник А₁В₁А₂В₂, диагонали которого точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, данный четырехугольник является параллелограммом (признак параллелограмма), значит, А₁В₁ и А₂В₂ параллельны.

Аналогично доказывается параллельность В₁С₁ и В₂С₂. Из вышеперечисленного следует, что плоскости А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂ параллельны по признаку параллельности плоскостей.

Тип задания: выделение цветом

Два равнобедренных треугольника FKС и FKD с общим основанием FK расположены так, что точка С не лежит в плоскости FKD. Определите взаимное расположение прямых, содержащих медианы треугольников, проведенных к сторонам KС и KD.

Прямые, которые содержат медианы треугольников к KC и KD- выходят из одной точки F. Соответственно, можно сделать вывод, что данные прямые пересекаются.

Источник

§ 2. Прямые и плоскости

1. Какие две прямые плоскости называются пересекающимися; параллельными?

Плоскости называются пересекающимися, если они имеют одну общую точку. Если прямые не имеют общих точек, тогда их называют параллельными.

2. Какие прямые называются скрещивающимися?

Прямые называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

3. Как могут располагаться две прямые в пространстве?

В пространстве две прямые могут располагаться параллельно, пересекаться и скрещиваться.

4. Какие прямая и плоскость называются пересекающимися; параллельными?

Прямая и плоскость называются пересекающимися, если прямая не лежит в плоскости и имеет с ней одну общую точку. Прямую и плоскость называют параллельными, если прямая не имеет ни одной общей точки с плоскостью.

5. Как могут располагаться в пространстве прямая и плоскость?

Прямая может лежать в плоскости, может пересекаться с плоскостью в некоторой точке, может быть параллельна плоскости.

6. Какие две плоскости называются пересекающимися; параллельными?

Две плоскости называются пересекающимися, если они имеют общие точки. Параллельными называют две плоскости, не имеющие ни одной общей точки.

7. Как могут располагаться в пространстве две плоскости?

Две плоскости могут быть параллельны и пересекаться.

8. Сформулируйте свойство плоскости, проходящей через три точки, и приведите примеры моделей, иллюстрирующих это свойство.

Плоскость, проходящая через три точки, — единственная плоскость, проходящая через эти точки.

9. Сформулируйте свойство прямой, две точки которой принадлежат плоскости, и приведите примеры моделей, иллюстрирующих это свойство.

Прямая, две точки которой принадлежат плоскости, тоже принадлежит этой плоскости.

Примером является проверка прямолинейности линейки. Если ровную линейку положить краем к поверхности стола (плоскости), то она всеми точками прилегает к поверхности; а если линейка неровная, то между линейкой и столом будет щель.

10. Сформулируйте свойство линии пересечения двух плоскостей и приведите примеры моделей, иллюстрирующих это свойство.

Точки прямой, принадлежащей двум плоскостям, принадлежат обеим плоскостям.

Примером является пересечение двух смежных стен комнаты.

11. Как обозначаются точки; прямые; плоскости?

Точки обозначаются прописными буквами (большими), прямые — строчными (маленькими), плоскости — строчными буквами греческого алфавита, например  α \alpha α  (альфа).

12. Назовите способы задания плоскости.

Плоскость можно задать:

13. Верно ли, что:

а) через любые две точки проходит единственная прямая.

б) через любые три точки проходит единственная плоскость;

в) три попарно пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.

Не верно. Три попарно пересекающиеся прямые могут иметь точки, не лежащие в одной плоскости.

14. На рисунке 85 изображена призма, основания которой — правильные шестиугольники. Назовите:

а) прямые, пересекающие плоскость ABC:

Прямые AP, FU, ET, DS, CR и BQ.

б) прямые, пересекающие плоскость UTF:

Прямые PU, QP, RS, ST, AF, BA, CD и DE.

в) прямые, лежащие в плоскости PTR:

Прямые PU, UT, TS, SR, RQ и QP.

г) прямые, лежащие в плоскости CDR:

Прямые CD, DS, SR и RC.

д) прямые, параллельные плоскости FEC:

Прямые PU, UT, TS, SR, RQ и QP.

е) прямые, параллельные плоскости AQB:

Прямые UF, RC, TE и SD.

15. На рисунке 86 изображён параллелепипед. Назовите:

а) плоскости, пересекающие прямую CQ:

Плоскости CFD и QPN.

б) плоскости, пересекающие прямую OP:

Плоскости QPF и NOE.

в) плоскости, в которых лежит прямая NO:

Плоскости QNO и DNO.

г) плоскости, которым принадлежит прямая DN:

Плоскости CDN и DNE.

д) плоскости, параллельные прямой CF:

Плоскости QPN и DNE.

е) плоскости, параллельные прямой EO:

Плоскости PEQ и CND.

16. Могут ли две плоскости иметь:

а) только одну общую точку?

б) только две общие точки?

Не могут. Две плоскости могут не иметь общих точек, либо иметь множество общих точек.

в) только одну общую прямую?

Могут. Если плоскости пересекаются, они имеют только одну общую прямую.

г) только две общие прямые?

Не могут. Через две прямые проходит одна единственная плоскость.

Источник

Скоро вебинар
«ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ»
(Аналитическая геометрия). Жми подробнее.

Параллельность прямых и плоскостей.

1. Параллельные прямые в пространстве.

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Обозначение параллельных прямых a и b: a || b.

Теорема о параллельных прямых.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Теорема о параллельности трех прямых.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

2. Параллельность прямой и плоскости.

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Обозначение параллельности прямой a и плоскости β: a || β.

Признак параллельности прямой и плоскости.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Два утверждения, которые часто используются при решении задач.

1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то и другая прямая либо также параллельна плоскости, либо лежит в этой плоскости.

3. Параллельность плоскостей.

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Обозначение параллельных плоскостей γ и β: γ||β.

Признак параллельности двух плоскостей.

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей:

1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Источник