какие два угла называются вертикальными
Вертикальные углы. Свойства вертикальных углов
Определение 1. Вертикальными углами называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.
 |
На Рис.1 углы AOB и COD вертикальные. Вертикальные также углы AOD и BOC.
Свойства вертикальных углов
1. Вертикальные углы равны.
2. Две пересекающие прямые образуют две пары вертикальных углов.
Доказательство пункта 1. Поскольку 1, 3 и 2, 3 смежные углы, то имеем
 ,  |
 ,  |
Следовательно 
. Аналогично доказывается, что 
.
Задачи и решения
Задание 1. Угол 1 равен 32°. Найти углы 2, 3, 4 (Рис.2).
 |
Решение. Так как углы 1 и 2 вертикальны, то 
. Углы 1 и 4 смежные. Следовательно 
. Тогда
  . |
Углы 3 и 4 вертикальные. Тогда 
Ответ. 
.
Задание 2. При пересечении двух прямых образовались четыре угла. Сумма двух углов равна 220°. Найти все углы.
Ответ. 
.
Вертикальные углы
В геометрии, два угла называются вертикальными, если они созданы пересечением двух прямых и не являются прилегающими. Такие углы имеют общую вершину. Они имеют одинаковую градусную меру и могут рассматриваться как равные.
Содержание
Теорема о вертикальных углах
Алгебраическое решение вертикальных углов
Например, угол A на рисунке — неизвестен. Обозначим A = x. Если два прилегающих угла образуют прямую, то они — смежные. Тогда, градусная мера C = 180 − x. Аналогично, градусная мера D = 180 − x. Углы C и D имеют одинаковую меру, которая равна 180 — x и являются вертикальными. Поскольку, угол B является смежным для обоих углов C и D, для того, чтобы вычислить размер B можно использовать градусную меру любого из них. Используя меру угла C или угла D, найдём градусную меру угла B = 180 — (180 — x) = 180—180 + x = x. Отсюда, оба угла A и B имеют г
См. также
Литература
Ссылки
Полезное
Смотреть что такое «Вертикальные углы» в других словарях:
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ — см. Угол … Большой Энциклопедический словарь
Вертикальные углы — пары углов с общей вершиной, образуемые при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого. На рис. две пары В. у. Рис. к ст. Вертикальные углы … Большая советская энциклопедия
вертикальные углы — см. Угол. * * * ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ, см. Угол (см. УГОЛ) … Энциклопедический словарь
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ — см. Угол … Естествознание. Энциклопедический словарь
углы геометрической видимости — Углы, определяющие зону минимального телесного угла, в которой должна быть видна видимая поверхность огня. Эта зона определяется сегментами сферы, центр которой совпадает с исходным центром огня, а экватор параллелен грунту. Эти сегменты… … Справочник технического переводчика
углы геометрической видимости — 2.12 углы геометрической видимости: Углы, определяющие зону минимального телесного угла, в которой должна быть видна видимая поверхность огня. Эта зона определяется сегментами сферы, центр которой совпадает с исходным центром огня, а экватор… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Инсоляционные углы светопроема — горизонтальные и вертикальные углы, в пределах которых на плоскости светопроема возможно поступление прямых солнечных лучей. При расчете инсоляционных углов глубина световых проемов принимается равной расстоянию от наружной плоскости стены до… … Официальная терминология
ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера
Угол — У этого термина существуют и другие значения, см. Угол (значения). Угол ∠ Размерность ° Единицы измерения СИ Радиан … Википедия
ГОСТ Р ИСО 12509-2010: Машины землеройные. Осветительные, сигнальные и габаритные огни и светоотражатели — Терминология ГОСТ Р ИСО 12509 2010: Машины землеройные. Осветительные, сигнальные и габаритные огни и светоотражатели оригинал документа: 3.1.5 габаритная ширина (overall width): Расстояние между двумя вертикальными плоскостями объемного… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
Смежные и вертикальные углы. Определения и свойства.
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Смежные и вертикальные углы.
Напомним, что угол – это геометрическая фигура, состоящая из двух лучей, имеющих общее начало. По своему взаимному расположению углы объединяются в группы. Две такие группы мы изучим сегодня.
Определение. Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми.
На рисунке сверху – общая сторона, и – дополнительные полупрямые. (Напомним, что дополнительные полупрямые – это две полупрямые, лежащие на одной прямой, имеющие общее начало и направленные в разные стороны).
Поскольку смежные углы вместе составляют развёрнутый угол, то они обладают следующим свойством:
Из этой теоремы выходят три следствия, которые предлагаются для самостоятельного доказательства.
Следствие 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы тоже равны.
Следствие 2. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.
Определение. Вертикальными называются два угла, у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого угла.
Дано: и – вертикальные, 
3. Рассмотрим последние равенства из пункта 1 и пункта 2:
Здесь мы использовали логическую связку: «Если в двух равенствах правые части равны, значит, равны и левые части».
Укажите, на каком рисунке изображены смежные углы.
Поставьте нужные обозначения и выпишите углы, смежные с углом, изображённым на рисунке. Каким свойством они обладают? 
Нарисуйте угол. Постройте смежный с ним угол. Сколько таких углов можно построить?
Нарисуйте два смежных угла. Какая фигура является их пересечением? объединением?
Найдите смежные углы, если:
один из них на больше другого;
один в 5 раз меньше другого;
12. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как:
Укажите, на каком рисунке изображены вертикальные углы. 
Сколько различных углов образуется при пересечении двух прямых? Какими свойствами они обладают?
Сколько пар вертикальных углов и сколько пар смежных углов изображено на рисунке? Назовите их. 
в 3 раза меньше, чем
величины углов и относятся, как т.е.
Нарисуйте два угла, имеющие общую вершину так, чтобы сторона одного из этих углов являлась бы дополнительной прямой к стороне другого угла, и так, чтобы они были: а) вертикальными; б) не вертикальными.
величины углов и относятся как т.е. 
величины углов и относятся как т.е.
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых в 4 раза меньше суммы остальных трёх углов. Найдите все эти четыре угла.
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла, один из которых в 2 раза больше суммы двух других углов. Найдите все эти четыре угла.
При пересечении двух прямых образовалось четыре угла меньше развёрнутого. Найдите эти углы, зная, что один из них на больше половины другого.
Являются ли углы и вертикальными? Ответ объясните.
Являются ли углы и вертикальными? Ответ объясните.
Найдите величины углов, образованных при пересечении двух прямых, если:
один из них на больше другого;
один из них составляет половину другого;
Один из углов, которые образуются при пересечении двух прямых, на меньше другого. Найдите эти углы.
Сумма вертикальных углов в два раза больше угла, смежного с обоими. Найдите эти углы.
Градусная мера одного из смежных углов в три раза больше другого. Найдите градусную меру большего из смежных углов.
Градусная мера одного из смежных углов в семь раз больше другого. Найдите градусную меру большего из смежных углов.
Один из смежных углов на меньше другого. Найдите эти смежные углы.
Один из смежных углов в 11 раз больше другого. Найдите эти смежные углы.
На плоскости проведены четыре попарно пересекающиеся прямые. Укажите пары смежных углов. 
На плоскости проведены четыре попарно пересекающиеся прямые. Укажите пары смежных углов. 
Один из смежных углов в пять раз больше другого. Найдите эти углы.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
В данной разработке представлены определения смежных и вертикальных углов, теоремы о них и доказательства, перечислены свойства смежных углов в виде следствий из теоремы. Каждое понятие снабжено иллюстрацией. В практической части собраны задания разного содержания и уровня сложности для отработки знаний и умений по данной теме.
Номер материала: ДБ-808247
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
В Москве стартует онлайн-чемпионат для школьников Soft Skills — 2035
Время чтения: 1 минута
Российские педагоги чаще всего жалуются на излишнюю отчетность и низкую зарплату
Время чтения: 2 минуты
В школе в Пермском крае произошла стрельба
Время чтения: 1 минута
Новый ГОСТ на окна с защитой для детей вступает в силу 1 ноября
Время чтения: 1 минута
Рособрнадзор открыл горячую линию по вопросам контрольных в школах
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения планирует прекратить прием в колледжи по 43 профессиям
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Какие углы называются вертикальными: определение и свойства
Вертикальные углы — что это такое в геометрии, определение
Вертикальные углы – пара углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых таким образом, что стороны одного из них являются продолжением сторон другого. Иными словами – они противоположны.
Свойства вертикальных углов
Равны или нет, доказательство теоремы
Особенность вертикальных углов в том, что они абсолютно идентичны.
Убедимся в справедливости этого свойства. Докажем его: на чертеже 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1 являются смежными, 1 и 3, 2 и 4 – вертикальные.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
\(\angle1+\angle2=180^\circ и \angle2+\angle3=180^\circ\)
Отсюда выведем, что:
Уравнение доказало равенство углов 1 и 3.
Примеры решения задач
Задача 1
Дано
Найти: значения \(\angle2, \angle3, \angle4\)
Решение
\(\angle1\) и \(\angle3\) вертикальные. Значит \(\angle1=\angle3=45^\circ.\)
\(\angle1\) и \(\angle4\) смежные. По правилу о смежных углах:
Так как \(\angle4\) и \(\angle2\) вертикальные, то \(\angle4=\angle2=135^\circ.\)
Ответ: величина \(\angle3=45^\circ,\) величина \(\angle2\) и \(\angle4=135^\circ.\)
Задача 2
Дано
Две прямые пересеклись и сформировали четыре угла. Сумма двух из них составляет \(140^\circ.\)
Найти: значения всех углов, образовавшихся при пересечении прямых.
Решение
Так как вертикальные углы равны, то значение каждого из них соответствует:
Оставшиеся углы – смежные к вертикальным и вертикальные по отношению друг к другу. Для того, чтобы их вычислить, выполним следующее действие:
Какие углы называются смежными, а какие вертикальными
Смежные и вертикальные углы – определение
Смежные углы – это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны являются дополняющими лучами.
Вертикальные углы – это два угла, стороны одного из которых являются дополняющими лучами сторон другого.
Теорема о смежных и вертикальных углах
Теорема о СУ гласит, что их сумма равна 180°.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Доказательство данного положения легко узнать на практике при помощи построения. Так как у СУ есть общая сторона, это значит, что они расположены на развернутом угле. А поскольку такая геометрическая фигура равна 180°, то и сумма СУ будет приравниваться к этому же значению.
Следствием из данной теории будет то, что если смежные углы равны, то они прямые. ПУ = 90°. Это есть половина от величины развернутого угла, на котором и находятся два СУ.
Еще одно следствие. Если два угла равны, то смежные с ними тоже имеют одно значение.
Теорема о вертикальных углах гласит, что ВУ равны. Доказательство: Рассмотрим ВУ AOB и COD. ∠BOD смежный для каждого из ∠AOB и ∠COD. По теореме 1 ∠АОВ+∠BOD=180°, ∠COD+∠BOD=180°. Из этого ∠АОВ=∠COD.
Следствие 1. Угол, смежный с прямым, есть прямой угол. Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD. Они образуют четыре угла. Если один из них прямой, то остальные также прямые (1 и 2, 1 и 4 — смежные, 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.
Смежные углы
Перечислим не отмеченные ранее свойства СУ:
Приведем пример решения задачи со СУ.
Задача
∠1 и ∠2 – смежные, ∠1 : ∠2 = 3 : 7.
Решение
Пусть х – коэффициент пропорциональности. Тогда ∠1=3х, ∠2=7х. Так как ∠1+∠2=180°(по теореме о СУ), то 3х+7х=180°, 10х=180°, х=18°. Следовательно ∠1=3×18°=54°, ∠2=7×18°=126°
Вертикальные углы
Отметим также неупомянутые свойства ВУ:
Приведем пример решения задачи с ВУ.
Задача
Решение
Так как ∠ C O D и ∠ A O B вертикальные, то значит, они равны, а тогда:
\(\angle AOB=\angle COD=45^\circ\)
\(∠AOB\angle AOB+\angle AOC=180^\circ\)
Из этого \(\angle AOC=180^\circ-\angle AOB=180^\circ-45^\circ=135^\circ.\)