Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
Треугольник – геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, которые соединены между собой отрезками.
Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.
Стороны треугольника– отрезки, соединяющие вершины треугольника.
Равные треугольники –треугольники, которые можно совместить наложением.
1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Вы уже познакомились с основными геометрическими фигурами:
Рассмотрим геометрическую фигуру, которая также является одной из основополагающих– треугольник.
Треугольник – геометрическая фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, которые соединены между собой отрезками.
Точки, с которых начиналось построение, называются вершинами треугольника.
Отрезки, соединяющие вершины треугольника, называются сторонами треугольника.
А, В, С – вершины треугольника АВС.
АВ, ВС, СА – стороны треугольника АВС.
∠А,∠В,∠С – углы треугольника АВС.
Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон.
Рассмотрим виды треугольников.
Их можно разделить по виду и соотношению углов, а также по соотношению сторон.
По углам треугольник может быть:
– остроугольным, если все его углы являются острыми, (т.е. меньше 90°).
– тупоугольным, если один из его углов тупой(т.е. больше 90°).
– прямоугольным, если один угол 90° (т.е. прямой).
По сторонам треугольник бывает:
– разносторонний, если все его стороны имеют различную длину;
– равнобедренный, если две его стороны равны между собой;
– равносторонний,если у него все три стороны равны между собой.
Напомним, что две фигуры, в том числе и треугольник, можно сравнить. ∆ АВС = ∆ А1В1С1
Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. При этом попарно совмещаются вершины, углы и стороны треугольников.
Следует помнить, что если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам (сторонам и углам) другого треугольника.
Свойство равных треугольников.
В равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы. Обратное утверждение тоже верно: против соответственно равных углов лежат равные стороны.
Равенство треугольников также можно установить, не производя наложения фигур друг на друга, а сравнивая лишь некоторые элементы этих фигур. Это станет возможным при изучении признаков равенства треугольников.
Внешний угол треугольника.
Введём определение внешнего угла треугольника.
Внешним углом треугольника при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине.
У каждого угла треугольника есть два угла, смежных с ним, т.е. у треугольника шесть внешних углов.
Отметим, что при одной вершине внешние углы равны, как вертикальные.
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
Найдите градусную меру внешнего ∠В, треугольника АВС, если ∠АВС = 60°.
По рисунку видно, что угол В внешний угол треугольника и он является смежным к углу АВС, следовательно, их сумма равна 180°.
∠В = 180° – ∠АВС = 180° – 60° = 120°
Периметр ∆АВС равен 58 см, сторона АВ = 20 см, сторона ВС >АС на 5 см. Найдите стороны ВС и АС.
Решение: Для решения задачи воспользуемся формулой периметра треугольника Р∆АВС = АВ + ВС + АС. Обозначим сторону АС за х, тогда сторона ВС равна х + 5, составим уравнение.
5. х = 16,5 см – сторона АС.
6. 16,5 + 5 = 21,5 см – сторона ВС.
Признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников
Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.
Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.
Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
При наложении △A1B1C1 на △ABC вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 накладывается на сторону AB, AC — на сторону A1C1.
Сторона A1B1 совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B1, сторона A1С1 совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C1.
Значит, происходит совмещение вершин В и В1, С и С1.
Второй признак равенства треугольников
Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1, вершины В и В1 лежат по одну сторону от А1С1.
Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.
AB накладывается на A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1.
CB накладывается на C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.
Вершина B совпадает с вершиной B1.
Третий признак равенства треугольников
Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Доказательство 3 признака равенства треугольников:
Приложим △ABC к △A1B1C1 таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C и вершина C1 лежат по разные стороны от прямой А1В1.
Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.
Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.
Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.
Какие два треугольника называются равными
Два треугольника называются равными, если все их соответствующие стороны и все соотвествующие углы равны.
Равенство треугольников является частным случаем равенства геометрических фигур. Таким образом, два треугольника равны тогда и только тогда, когда они совмещаются наложением.
\(A\), \(B\), \(C\) – вершины треугольника \(ABC\);
\(AB\), \(AC\), \(BC\) – стороны треугольника \(ABC\);
\(\angle
Первый признак равенства треугольников
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то данные треугольники равны.
$$ AB=A_1B_1, AC=A_1C_1, \angle
Второй признак равенства треугольников
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то данные треугольники равны.
Третий признак равенства треугольников
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то данные треугольники равны.
$$ AB=A_1B_1, AC=A_1C_1, BC=B_1C_1 \Rightarrow \triangle
Какие треугольники называются равными?
Треугольники называются равными, если их соответствующие элементы равные (стороны, углы, высоты, биссектрисы,медианы). Также есть три признака равенства треугольников: по двум сторонам и углом между ними; по стороне и двумя прилежащими углами; по трем сторонам.
я хотел поначалу дать определение равносторонним треугольникам. прочитав вопрос еще раз, понял что речь вроде как идет о нескольких треугольниках которые равны и одинаковы по каким то свойствам.
Два и более треугольника можно назвать равными в том случае если у них стороны соответствующие стороны и углы равны.
«давно геометрию не вспоминал (смайлик)»
В геометрии придумали множество определений и доказательств равенства треугольников, но в общем случае можно утверждать, что треугольники будут равными, если при их наложении друг на друга все их стороны и углы совпадут. Конечно в действительности никто не будет накладывать треугольники, чтобы понять равны они или нет. а просто воспользуется каким либо правилом. Например, если все три стороны треугольника и его углы равны, сторонам и углам второго треугольника, то такие треугольники конечно будут равными.
Есть несколько теорем-признаков, подтверждающих равенство треугольников, но их не обязательно озвучивать, можно просто проиллюстрировать:
Если у нас имеются два треугольника, которые при совмещении совпадают, то они являются равными. А если треугольники равны, то и все соответствующие элементы тоже будут равными.
Существуют три признака равенства треугольников:
Треугольники называются равными если:
Треугольники называются равными, если у них равны соответствующие стороны и соответствующие углы.
Оба этих требования обязательны, потому что, скажем, углы треугольников могут совпадать, а стороны нет, и наоборот.
Понятно, что при наложении равных треугольников друг на друга, они совпадут.
Однако есть еще три известных признака равенства треугольников, которые можно применять как утверждения, но не как определения.
Наверное имеется ввиду равенство между несколькими треугольниками. Треугольники являются равными, если 1)все стороны одного равны всем сторонам другого; 2)угол и две прилежащие к нему стороны равны у обоих треугольников; 3)одна сторона и два прилежащих к ней угла равны у обоих треугольников.
Если углы и отходящие от них две стороны всех взятых треугольников равны, этого достаточно чтобы совпали и третьи стороны. То же самое, но наоборот-одна сторона и углы по её концам у всех равны, то и остальное совпадёт. Ну и конечно когда все стороны всех треугольников равны. Да и ещё наложением один на другой можно выяснить, насколько они близнецы.
Равными треугольниками называются те треугольники, для которых выполняется один из 3 признаков равенства треугольников:
1) Если у обоих треугольников равны один из углов и 2 стороны, которые его образуют.
2) Если у треугольников равны одна сторона и 2 угла, которые прилежат к ней.
3) Если у обоих треугольников равны все 3 стороны.
Есть несколько признаков того, по которым и определяется, равные это треугольники или нет. И если выполняется одно из нижеперечисленных условий/признаков, то треугольники будут называться равными.
Признаки равенства и подобия треугольников
Признаки равенства треугольников
Равными называют треугольники, у которых соответствующие стороны равны.
Теорема (первый признак равенства треугольников).
Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема (второй признак равенства треугольников).
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Теорема (третий признак равенства треугольников).
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Признаки подобия треугольников
Подобными называются треугольники, у которых углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: 
, 
, где 
— коэффициент подобия.
I признак подобия треугольников. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то эти треугольники подобны.
II признак подобия треугольников. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
III признак подобия треугольников. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
Следствие: Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: 
.
